Найти скорость тела у основания плоскости

Предмет и раздел:

Физика, раздел "Механика", подраздел: Динамика и механическая энергия.

Условие:

1. Тело скользит по наклонной плоскости длиной $\text{(}l=10\text{м}\text{)}$ и высотой $\text{(}h=5\text{м}\text{)}$.
2. Коэффициент трения $\text{(}\mu =0.2\text{)}$.
3. Найти скорость $\text{(}v\text{)}$ тела у основания плоскости.

Решение:

1. Разберемся с энергией тела:

• Тело начинает движение с вершины наклонной плоскости, то есть его начальная скорость равна $\text{(}{v}_0=0\text{)}$.
• Учитываем потери энергии на путь из-за трения. Сравним два вида энергии:
  • Потенциальная энергия в начальный момент: $\text{(}{E}_{\text{п}}=mgh\text{)}$, где $\text{(}m\text{)}$ — масса тела, $\text{(}g=9.8\text{м}/{\text{с}}^2\text{)}$, $\text{(}h=5\text{м}\text{)}$.
  • Кинетическая энергия в конечный момент: $\text{(}{E}_{\text{к}}=\frac{1}{2}m{v}^2\text{)}$.
• Так как по мере движения энергия тратится на трение, напишем уравнение сохранения энергии с учетом работы силы трения: $\text{[}mgh-A_{\text{тр}}=\frac{1}{2}m{v}^2,\text{]}$ где $\text{(}{A}_{\text{тр}}\text{)}$ — работа силы трения на всей длине плоскости.
• Работа трения рассчитывается как: $\text{[}{A}_{\text{тр}}=F_{\text{тр}}\cdot l,\text{]}$ где $\text{(}{F}_{\text{тр}}=\mu N\text{)}$, а $\text{(}N\text{)}$ — сила нормальной реакции опоры. Для наклонной плоскости: $\text{[}N=mg\cos \alpha ,\text{]}$ где $\text{(}\cos \alpha =\frac{\text{основание плоскости}}{\text{гипотенузу}}=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}\text{)}$.

2. Составим интегральное уравнение:

• Определим угол наклона $\text{(}\alpha \text{)}$ с помощью тригонометрии: $\text{[}\sin \alpha =\frac{h}{l}=\frac{5}{10}=0.5,\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{0.5}^2}=\sqrt{0.75}=0.866.\text{]}$
• Подставляем коэффициент силы трения: $\text{[}{F}_{\text{тр}}=\mu N=\mu \cdot mg\cos \alpha =0.2\cdot mg\cdot 0.866.\text{]}$ Следовательно, полная работа трения: $\text{[}{A}_{\text{тр}}=F_{\text{тр}}\cdot l=0.2\cdot mg\cdot 0.866\cdot 10.\text{]}$ $\text{[}{A}_{\text{тр}}=1.732\cdot mg.\text{]}$

3. Уравнение энергии:

Теперь подставляем $\text{(}{A}_{\text{тр}}\text{)}$ в уравнение:

$\text{[}mgh-1.732\cdot mg=\frac{1}{2}m{v}^2.\text{]}$

Сокращаем $\text{(}m\text{)}$ (если масса тела ненулевая):

$\text{[}gh-1.732\cdot g=\frac{1}{2}{v}^2.\text{]}$

Подставляем значения $\text{(}g=9.8\text{м}/{\text{с}}^2\text{)}$, $\text{(}h=5\text{м}\text{)}$:

$\text{[}9.8\cdot 5-1.732\cdot 9.8=\frac{1}{2}{v}^2.\text{]}$

$\text{[}49-16.97=\frac{1}{2}{v}^2.\text{]}$

$\text{[}32.03=\frac{1}{2}{v}^2.\text{]}$

4. Найдем скорость:

$\text{[}{v}^2=64.06,v=\sqrt{64.06}\approx 8.0\text{м}/\text{с}.\text{]}$

Ответ:

Скорость тела у основания плоскости: $\text{(}v\approx 8\text{м}/\text{с}\text{)}$.