Предмет и раздел:
Физика, раздел "Механика", подраздел: Динамика и механическая энергия.
Условие:
- Тело скользит по наклонной плоскости длиной \( l = 10 \, \text{м} \) и высотой \( h = 5 \, \text{м} \).
- Коэффициент трения \( \mu = 0.2 \).
- Найти скорость \( v \) тела у основания плоскости.
Решение:
1. Разберемся с энергией тела:
- Тело начинает движение с вершины наклонной плоскости, то есть его начальная скорость равна \( v_0 = 0 \).
- Учитываем потери энергии на путь из-за трения. Сравним два вида энергии:
- Потенциальная энергия в начальный момент: \( E_{\text{п}} = mgh \), где \( m \) — масса тела, \( g = 9.8 \, \text{м}/\text{с}^2 \), \( h = 5 \, \text{м} \).
- Кинетическая энергия в конечный момент: \( E_{\text{к}} = \frac{1}{2}mv^2 \).
- Так как по мере движения энергия тратится на трение, напишем уравнение сохранения энергии с учетом работы силы трения:
\[ mgh - A_{\text{тр}} = \frac{1}{2}mv^2, \]
где \( A_{\text{тр}} \) — работа силы трения на всей длине плоскости.
- Работа трения рассчитывается как:
\[ A_{\text{тр}} = F_{\text{тр}} \cdot l, \]
где \( F_{\text{тр}} = \mu N \), а \( N \) — сила нормальной реакции опоры.
Для наклонной плоскости:
\[ N = mg \cos \alpha, \]
где \( \cos \alpha = \frac{\text{основание плоскости}}{\text{гипотенузу}} = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l} \).
2. Составим интегральное уравнение:
- Определим угол наклона \( \alpha \) с помощью тригонометрии:
\[ \sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{5}{10} = 0.5, \quad \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0.5^2} = \sqrt{0.75} = 0.866. \]
- Подставляем коэффициент силы трения:
\[ F_{\text{тр}} = \mu N = \mu \cdot mg \cos \alpha = 0.2 \cdot mg \cdot 0.866. \]
Следовательно, полная работа трения:
\[ A_{\text{тр}} = F_{\text{тр}} \cdot l = 0.2 \cdot mg \cdot 0.866 \cdot 10. \]
\[ A_{\text{тр}} = 1.732 \cdot mg. \]
3. Уравнение энергии:
Теперь подставляем \( A_{\text{тр}} \) в уравнение:
\[ mgh - 1.732 \cdot mg = \frac{1}{2}mv^2. \]
Сокращаем \( m \) (если масса тела ненулевая):
\[ gh - 1.732 \cdot g = \frac{1}{2}v^2. \]
Подставляем значения \( g = 9.8 \, \text{м}/\text{с}^2 \), \( h = 5 \, \text{м} \):
\[ 9.8 \cdot 5 - 1.732 \cdot 9.8 = \frac{1}{2}v^2. \]
\[ 49 - 16.97 = \frac{1}{2}v^2. \]
\[ 32.03 = \frac{1}{2}v^2. \]
4. Найдем скорость:
\[ v^2 = 64.06, \quad v = \sqrt{64.06} \approx 8.0 \, \text{м}/\text{с}. \]
Ответ: