Найти скорость ракеты после вылета продуктов сгорания

Предмет: физика

Раздел: механика, закон сохранения импульса

Тема: реактивное движение

Задача связана с реактивным движением, и для решения будет использован закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе суммарный импульс до и после взаимодействия остается неизменным, если не действуют внешние силы.

Дано:

• Масса ракеты до вылета продуктов сгорания, \( m_{\text{до}} = 20 \, \text{кг} \)
• Масса продуктов сгорания (выделившееся топливо), \( m_{\text{пр}} = 1 \, \text{кг} \)
• Скорость вылета продуктов сгорания относительно ракеты, \( v_{\text{пр}} = 2000 \, \text{м/с} \) (2 км/с = 2000 м/с)

Нужно найти скорость ракеты после вылета продуктов сгорания, \( v_{\text{рак}} \).

Решение:

1. Импульс системы до вылета продуктов сгорания.
   До того как начался вылет продуктов сгорания, ракета покоится, то есть её начальный импульс равен нулю. Полный импульс системы "ракета + топливо" до вылета равен:
   \[ P_{\text{до}} = 0 \]
2. Импульс системы после вылета продуктов сгорания.
   После вылета, система "ракета + топливо" состоит из двух частей: самой ракеты и продуктов сгорания. По закону сохранения импульса, суммарный импульс этих двух частей также равен нулю:
   \[ P_{\text{после}} = m_{\text{рак}} \cdot v_{\text{рак}} + m_{\text{пр}} \cdot (-v_{\text{пр}}) \]
   Где:
   • \( m_{\text{рак}} \) — это масса ракеты после отделения продуктов сгорания \( m_{\text{рак}} = 20 \, \text{кг} - 1 \, \text{кг} = 19 \, \text{кг} \),
   • \( v_{\text{рак}} \) — скорость ракеты, которую нужно найти,
   • \( m_{\text{пр}} = 1 \, \text{кг} \) — масса вылетевших продуктов сгорания,
   • \( v_{\text{пр}} = 2000 \, \text{м/с} \) — скорость продуктов сгорания,
   • знак "минус" для импульса вылетевших продуктов сгорания потому, что их движение направлено в противоположную сторону относительно ракеты.
3. Записываем закон сохранения импульса:
   \[ 0 = m_{\text{рак}} \cdot v_{\text{рак}} - m_{\text{пр}} \cdot v_{\text{пр}} \]
   Отсюда можно выразить скорость ракеты:
   \[ m_{\text{рак}} \cdot v_{\text{рак}} = m_{\text{пр}} \cdot v_{\text{пр}} \]
   \[ v_{\text{рак}} = \frac{m_{\text{пр}} \cdot v_{\text{пр}}}{m_{\text{рак}}} \]
4. Подставляем известные значения:
   \[ v_{\text{рак}} = \frac{1 \, \text{кг} \cdot 2000 \, \text{м/с}}{19 \, \text{кг}} \]
   \[ v_{\text{рак}} = \frac{2000 \, \text{м/с}}{19} \]
   \[ v_{\text{рак}} \approx 105.26 \, \text{м/с} \]

Ответ:

Скорость ракеты после вылета продуктов сгорания составляет примерно 105.26 м/с.