Найти скорость колебаний в момент времени

Это задание относится к курсу физики, а именно к разделу механики и изучению колебаний и волн.

Давайте разберём предоставленное задание и решим его.

1. Амплитуда затухающих колебаний (в функции \( x(t) \)):

\[ x(t) = 18 \cdot e^{-0.5t} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \text{ см} \]

Нам надо найти скорость колебаний в см/с в начальный момент времени и в момент времени \( t_1 = 2 \text{ с} \).

2. Определение скорости колебаний (или, математически, первой производной функции \( x(t) \)):

\[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} \]

3. Найдём первую производную функции \( x(t) \).

\[ x(t) = 18 \cdot e^{-0.5t} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \]

Применим правило произведения и цепное правило для нахождения производной:

\[ v(t) = \frac{d}{dt} \left( 18 \cdot e^{-0.5t} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \right) \]

Разделим это на две части:

\[ v(t) = \frac{d}{dt} \left( 18 e^{-0.5t} \right) \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) + 18 e^{-0.5t} \cdot \frac{d}{dt} \left( \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \right) \]

Производная от \( 18 e^{-0.5t} \):

\[ \frac{d}{dt} \left( 18 e^{-0.5t} \right) = \text{18} \cdot (-0.5) e^{-0.5t} = -9 e^{-0.5t} \]

Производная от \( \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \):

\[ \frac{d}{dt} \left( \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \right) = \cos \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \cos \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \]

Теперь объединим эти результаты:

\[ v(t) = -9 e^{-0.5t} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) + 18 e^{-0.5t} \cdot \frac{2\pi}{3} \cos \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \]

\[ v(t) = -9 e^{-0.5t} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) + 12\pi e^{-0.5t} \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \right) \]

4. Найдём скорость в начальный момент времени (t = 0):

\[ v(0) = -9 e^{-0.5 \cdot 0} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} \cdot 0 + \frac{\pi}{3} \right) + 12\pi e^{-0.5 \cdot 0} \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot 0 + \frac{\pi}{3} \right) \]

\[ v(0) = -9 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + 12\pi \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \]

Зная, что \( \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \):

\[ v(0) = -9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 12\pi \cdot \frac{1}{2} \]

\[ v(0) = -\frac{9\sqrt{3}}{2} + 6\pi \]

Проведем округление до 0.001:

\[ v(0) \approx 6 \cdot 3.142 - 4.5 \cdot 1.732 \approx 18.85 - 7.79 \approx 11.06 см/с \]

5. Найдём скорость в момент времени \( t_1 = 2 \) с:

\[ v(2) = -9 e^{-0.5 \cdot 2} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} \cdot 2 + \frac{\pi}{3} \right) + 12\pi e^{-0.5 \cdot 2} \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot 2 + \frac{\pi}{3} \right) \]

\[ v(2) = -9 e^{-1} \cdot \sin \left( \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) + 12\pi e^{-1} \cdot \cos \left( \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \]

\[ v(2) = -9 e^{-1} \cdot \sin \left( \frac{5\pi}{3} \right) + 12\pi e^{-1} \cdot \cos \left( \frac{5\pi}{3} \right) \]

Зная, что \( \sin \left( \frac{5\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos \left( \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \):

\[ v(2) = -9 e^{-1} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 12\pi e^{-1} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ v(2) = 9 e^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 12\pi e^{-1} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ v(2) = \frac{9\sqrt{3}}{2e} + \frac{6\pi}{e} \]

Округлим до 0.001:

\[ v(2) \approx \frac{9 \cdot 1.732}{2.718} + \frac{6 \cdot 3.142}{2.718} \approx \frac{15.588}{2.718} + \frac{18.852}{2.718} \approx 5.735 + 6.94 \approx 12.675 см/с \]

Окончательные результаты:

• Скорость колебаний в начальный момент времени \( t = 0 \) с: \( v(0) \approx 11.06 \) см/с
• Скорость колебаний в момент времени \( t_1 = 2 \) с: \( v(2) \approx 12.675 \) см/с