Найти скорость центра масс у основания наклонной плоскости и время скатывания

Определим предмет и раздел: это задание относится к физике, раздел механики, конкретно к динамике твердого тела и кинематике.

Дано:

• Угол наклона плоскости: \(\theta\);
• Длина наклонной плоскости: \(L\).

Необходимо найти:

1. Скорость центра массы у основания наклонной плоскости: \(v\).
2. Время скатывания: \(t\).

Шаг 1: Определим ускорение центра масс

Для начала вспомним основные принципы движения твердого тела без проскальзывания. При скатывании без проскальзывания на тело действует сила тяжести, нормальная сила опоры и сила трения, которая обеспечивает отсутствие скольжения. Пусть \(m\) — масса однородного диска, \(R\) — его радиус.

Ускорения:

Центр массы диска обладает линейным ускорением \(a_{\text{cm}}\), а также угловым ускорением \(\alpha\). Сила тяжести, разложенная на компоненты, даёт: \[ m \cdot g \cdot \sin(\theta) = ma_{\text{cm}} \] Из-за отсутствия проскальзывания: \[ a_{\text{cm}} = R\alpha \] Момент инерции однородного диска (относительно оси через центр масс): \[ I = \frac{1}{2}mR^2 \]

Шаг 2: Применим второй закон Ньютона для вращения

Момент силы: \[ \tau = I \alpha = R \cdot F_{\text{тр}} \] Сила трения в нашем случае: \[ F_{\text{тр}} = m(g \sin \theta) \] Используя выражение для \(a_{\text{cm}}\): \[ \alpha = \frac{a_{\text{cm}}}{R} \] Таким образом: \[ R \cdot (m \cdot g \cdot \sin \theta) = \frac{1}{2}mR^2 \cdot \frac{a_{\text{cm}}}{R} \] После упрощения: \[ g \sin \theta = \frac{1}{2}a_{\text{cm}} \] Тогда: \[ a_{\text{cm}} = \frac{2}{3} g \sin \theta \]

Шаг 3: Найдем скорость

По формуле кинематики для равномерно ускоренного движения (без начальной скорости): \[ v^2 = u^2 + 2a_{\text{cm}} s \] Так как начальная скорость \(u = 0\), получаем: \[ v^2 = 2 \cdot \frac{2}{3} g \sin \theta \cdot L \] \[ v^2 = \frac{4}{3} g \sin \theta \cdot L \] \[ v = \sqrt{\frac{4}{3} g \sin \theta \cdot L} \] \[ v = \sqrt{\frac{4}{3} g L \sin \theta} \]

Шаг 4: Найдем время скатывания

Для времени скатывания используем формулу: \[ s = u t + \frac{1}{2}a_{\text{cm}} t^2 \] Здесь \(u = 0\), следовательно: \[ L = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} g \sin \theta \cdot t^2 \] \[ L = \frac{1}{3} g \sin \theta \cdot t^2 \] \[ t^2 = \frac{3L}{g \sin \theta} \] \[ t = \sqrt{\frac{3L}{g \sin theta}} \]

Ответ:

1. Скорость центра масс у основания наклонной плоскости: \[ v = \sqrt{\frac{4}{3} g L \sin \theta} \]
2. Время скатывания: \[ t = \sqrt{\frac{3L}{g \sin \theta}} \]