Найти скорость центра масс системы

Определение предмета и раздела

Это задание относится к физике, раздел механика, тема движение системы частиц и центр масс.

Условие задачи

Даны массы двух частиц и их скорости.

1. Первая частица:
   • Масса \( m_1 = 1 \, \text{кг} \)
   • Скорость \( v_1 = 2 \, \text{м/с} \) (направлена вертикально вверх)
2. Вторая частица:
   • Масса \( m_2 = 2 \, \text{кг} \)
   • Скорость \( v_2 = 0{,}5 \, \text{м/с} \) (направлена горизонтально вправо)

План решения

Чтобы найти скорость центра масс системы, нужно воспользоваться формулой для скорости центра масс:

\[ \vec{v}_{CM} = \frac{m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}}{m_1 + m_2} \]

где \( \vec{v}_{CM} \) — это вектор скорости центра масс, \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы частиц, а \( \vec{v_1} \) и \( \vec{v_2} \) — их скорости.

Шаг 1: Найдём координаты скоростей частиц

Для удобства разложим скорости частиц на компоненты по осям \( x \) и \( y \).

1. Первая частица:
   • Скорость \( v_1 = 2 \, \text{м/с} \) направлена по оси \( y \): \[ v_{1x} = 0 \, \text{м/с}, \quad v_{1y} = 2 \, \text{м/с} \]
2. Вторая частица:
   • Скорость \( v_2 = 0{,}5 \, \text{м/с} \) направлена по оси \( x \): \[ v_{2x} = 0{,}5 \, \text{м/с}, \quad v_{2y} = 0 \, \text{м/с} \]

Шаг 2: Рассчитаем компоненты скорости центра масс

Для координат скорости центра масс по осям \( x \) и \( y \) используем формулу, подставив значения масс и скоростей.

1. По оси \( x \):

\[ v_{CM_x} = \frac{m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0{,}5}{1 + 2} = \frac{1}{3} \, \text{м/с} \]

2. По оси \( y \):

\[ v_{CM_y} = \frac{m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y}}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{2}{3} \, \text{м/с} \]

Шаг 3: Определим модуль и направление скорости центра масс

1. Модуль скорости:

\[ v_{CM} = \sqrt{v_{CM_x}^2 + v_{CM_y}^2} = \sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{2}{3} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}745 \, \text{м/с} \]

2. Направление скорости можно найти через угол \( \theta \) (угол между вектором скорости и осью \( x \)):

\[ \tan(\theta) = \frac{v_{CM_y}}{v_{CM_x}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2 \]

Следовательно:

Ответ

• Модуль скорости центра масс: \( v_{CM} \approx 0{,}745 \, \text{м/с} \)
• Направление: угол около \( 63{,}4^\circ \) к оси \( x \) (вверх и вправо).

\[ \theta = \tan^{-1}(2) \approx 63{,}435^\circ \]