Найти, с какой частотой будет вращаться платформа, когда человек переместится на расстояние от центра

Это задача по физике, раздел «Механика», подраздел «Динамика вращательного движения». В данной задаче рассматривается закон сохранения механического момента для системы "платформа-человек".

Основные данные задачи:

• Масса горизонтальной платформы \( M = 200\ \text{кг} \),
• Платформа вращается с частотой \( \nu_1 = 1 \ \text{об/с} \),
• Масса человека \( m = 60\ \text{кг} \),
• Изначальное положение человека — на расстоянии \( R/2 \) от центра платформы,
• Финальное положение человека — на расстоянии \( R \) от центра платформы,
• Платформа — однородный диск радиусом \( R \);
• Человек рассматривается как точечная масса.

Формулировка задачи:

Необходимо найти, с какой частотой будет вращаться платформа \( \nu_2 \), когда человек переместится на расстояние \( R \) от центра.

Решение:

Пользуемся законом сохранения момента импульса. Момент импульса представляет собой произведение момента инерции \( I \) тела на угловую скорость \( \omega \):

\[ L = I \cdot \omega \]

Так как силы внешнего момента на систему отсутствуют, момент импульса до и после перемещения человека должен остаться постоянным:

\[ L_1 = L_2 \]

1. Момент инерции системы «платформа-человек» до перемещения:

• Момент инерции платформы как однородного диска относительно центра:

  \[ I_{\text{платформа}} = \frac{1}{2} M R^2 \]

• Момент инерции человека как точечной массы на расстоянии \( R/2 \):

  \[ I_{\text{чел}} = m \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{m R^2}{4} \]

• Общий момент инерции системы до перемещения:

  \[ I_1 = I_{\text{платформа}} + I_{\text{чел}} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{m R^2}{4} \]

2. Момент инерции системы после перемещения:

• Человек переместился на расстояние \( R \) от центра, поэтому его момент инерции изменится:

  \[ I_{\text{чел}}^{\prime} = m R^2 \]

• Общий момент инерции системы после перемещения:

  \[ I_2 = I_{\text{платформа}} + I_{\text{чел}}^{\prime} = \frac{1}{2} M R^2 + m R^2 \]

3. Закон сохранения момента импульса:

Пусть частота вращения до перемещения \( \nu_1 = 1 \ \text{об/с} \), а после перемещения частота \( \nu_2 \). Используем отношение угловых скоростей, зная, что \( \omega = 2 \pi \nu \). Закон сохранения механического момента:

\[ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \]

Так как \( \omega = 2 \pi \nu \), можем выразить:

\[ I_1 \nu_1 = I_2 \nu_2 \]

Тогда:

\[ \nu_2 = \frac{I_1}{I_2} \cdot \nu_1 \]

4. Подставляем значения:

\[ I_1 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot R^2 + \frac{60 \cdot R^2}{4} = 100 R^2 + 15 R^2 = 115 R^2 \]

\[ I_2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot R^2 + 60 \cdot R^2 = 100 R^2 + 60 R^2 = 160 R^2 \]

Теперь находим новую частоту:

\[ \nu_2 = \frac{115 R^2}{160 R^2} \cdot 1 = \frac{115}{160} = 0.71875 \ \text{об/с} \]

Ответ:

Частота вращения платформы после перемещения человека составит \( \nu_2 \approx 0.72 \ \text{об/с} \).