Найти реакции в опорах балки

На доске изображена балка с закреплениями и нагрузками, которые указаны в виде распределенной нагрузки и сосредоточенной силы \( F = 5 \text{ кН} \). Видно, что первый человек находится слева от балки, где распределена нагрузка с интенсивностью \( q = 3 \text{ кН/м} \), а следующий человек справа прикладывает сосредоточенную силу \( F = 5 \text{ кН} \). Промежутки между опорами и приложением сил обозначены.

Определение предмета:

Это задача по сопромату (сопротивлению материалов) на статический расчет балки для определения реакций в опорах.

Этапы решения задачи:

1. Условие:
   • Даны:
   • Момент \( M = 10 \ \text{kH}\cdot\text{м} \),
   • Распределенная нагрузка с интенсивностью \( q = 3 \ \text{кН/м} \) на длине 2 метра,
   • Сосредоточенная сила \( F = 5 \text{ кН} \), приложенная справа.
   • Длина балки и расположение сил указаны прямо на чертеже.
   • Длина между опорами — 3 метра.
2. Цель: Необходимо найти реакции в опорах балки.
3. Составление уравнений равновесия:
   • Чтобы найти реакции в опорах, используем уравнения равновесия:
   • Сумма моментов равна 0.
   • Сумма вертикальных сил равна 0.

3.1. Уравнение суммы сил в вертикальном направлении:

Для балки, находящейся в равновесии, сумма всех вертикальных сил должна быть равна нулю:

\[ R_A + R_B - qL - F = 0 \]

Где:

• \( R_A \) и \( R_B \) — реакции в опорах \( A \) и \( B \),
• \( qL = 3 \ \text{кН/м} \times 2 \ м = 6 \ \text{кН} \) (суммарная сила от распределённой нагрузки),
• \( F = 5 \text{ кН} \).

Записываем уравнение:

\[ R_A + R_B - 6 \ \text{кН} - 5 \ \text{кН} = 0 \]

\[ R_A + R_B = 11 \ \text{кн} \]

3.2. Уравнение моментов относительно точки \( A \):

Выберем момент относительно левой опоры \( A \), для исключения \( R_A \) из уравнения. По часовой стрелке моменты считаем положительными:

\[ M_A = 0 = - qL \cdot \frac{L}{2} + F \cdot (3 \ м) - M + R_B \cdot 3 \]

Распределённая нагрузка создаёт момент в середине своей длины:

\[ - 6 \ \text{кН} \times 1 \ м + 5 \ \text{кН} \times 3 \ м - 10 \ \text{кН} \cdot\м + R_B \cdot 3 = 0 \]

Раскроем и решим:

\[ -6 + 15 - 10 + 3R_B = 0 \]

\[ -1 + 3R_B = 0 \]

\[ 3R_B = 1 \]

\[ R_B = \frac{1}{3} \ \text{кН} \approx 0.33 \ \text{кН} \]

3.3. Подставим \( R_B \) в уравнение суммы сил:

\[ R_A + 0.33 = 11 \ \text{кН} \]

\[ R_A = 11 - 0.33 = 10.67 \ \text{кН} \]

Ответ:

Реакции на опорах:

• \( R_A \approx 10.67 \ \text{кН} \),
• \( R_B \approx 0.33 \ \text{кН} \).

Таким образом, мы нашли реакции в опорах балки.