Найти расстояние, на котором упадет второй осколок

Предмет: Физика
Раздел: Механика, законы сохранения

Данная задача относится к механике и требует применения законов сохранения импульса и кинематики для движения тел в поле тяжести.

Условие:

Снаряд вылетает из орудия со скоростью $v_0$. В верхней точке траектории он разрывается на два одинаковых осколка на расстоянии $L$ от орудия. Один из осколков начинает двигаться в обратном направлении со скоростью, равной скорости снаряда до разрыва. Нужно найти расстояние, на котором упадет второй осколок.

Решение:

1. Исходные данные и предположения:

• Масса снаряда до разрыва: $m$.
• Массы осколков одинаковы: $\frac{m}{2}$.
• Скорость снаряда в верхней точке по горизонтали: $v_0$ (так как вертикальная составляющая скорости в верхней точке равна нулю).
• Один из осколков движется в обратном направлении со скоростью $v_0$ относительно снаряда.

2. Закон сохранения импульса:

В верхней точке траектории действует только сила тяжести, которая не изменяет горизонтальный импульс системы. Поэтому горизонтальный импульс снаряда до разрыва равен суммарному импульсу двух осколков после разрыва:

$m\cdot v_0=\frac{m}{2}\cdot (-v_0)+\frac{m}{2}\cdot v_2,$

где $v_2$ — горизонтальная скорость второго осколка после разрыва.

Упростим уравнение: $m\cdot v_0=-\frac{m}{2}\cdot v_0+\frac{m}{2}\cdot v_2.$

Сократим массу $m$ и решим относительно $v_2$: $v_0=-\frac{v_0}{2}+\frac{v_2}{2}.$

Умножим на 2: $2v_0=-v_0+v_2.$

$v_2=3v_0.$

Итак, горизонтальная скорость второго осколка после разрыва равна $3v_0$.

3. Кинематика движения осколков:

Теперь найдем, где упадет второй осколок. Для этого нужно учесть, что оба осколка и снаряд до разрыва находятся в верхней точке на расстоянии $L$ от орудия. Времена падения обоих осколков на землю одинаковы, так как разрыв произошел в верхней точке, а вертикальная составляющая скорости всех частей равна нулю.

Время падения определяется только высотой $H$ верхней точки траектории. Для снаряда высота определяется формулой:

$H=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g},$

где $\theta$ — угол вылета снаряда, $g$ — ускорение свободного падения.

Время падения: $t=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\frac{v_0\sin \theta }{g}.$

4. Горизонтальное перемещение второго осколка:

Горизонтальное перемещение второго осколка относительно точки разрыва равно:

$x_2=v_2\cdot t=3v_0\cdot \frac{v_0\sin \theta }{g}.$

Общее расстояние от орудия до второго осколка: $L_2=L+x_2.$

Подставим $x_2$: $L_2=L+3\cdot \frac{v_0^2\sin \theta }{g}.$

5. Итоговый ответ:

Расстояние, на котором упадет второй осколок от орудия, равно:

$L_2=L+3\cdot \frac{v_0^2\sin \theta }{g}.$