Найти расстояние, на котором упадет второй осколок

Предмет: Физика
Раздел: Механика, законы сохранения

Данная задача относится к механике и требует применения законов сохранения импульса и кинематики для движения тел в поле тяжести.

Условие:

Снаряд вылетает из орудия со скоростью v_0. В верхней точке траектории он разрывается на два одинаковых осколка на расстоянии L от орудия. Один из осколков начинает двигаться в обратном направлении со скоростью, равной скорости снаряда до разрыва. Нужно найти расстояние, на котором упадет второй осколок.

Решение:

1. Исходные данные и предположения:

• Масса снаряда до разрыва: m.
• Массы осколков одинаковы: \frac{m}{2}.
• Скорость снаряда в верхней точке по горизонтали: v_0 (так как вертикальная составляющая скорости в верхней точке равна нулю).
• Один из осколков движется в обратном направлении со скоростью v_0 относительно снаряда.

2. Закон сохранения импульса:

В верхней точке траектории действует только сила тяжести, которая не изменяет горизонтальный импульс системы. Поэтому горизонтальный импульс снаряда до разрыва равен суммарному импульсу двух осколков после разрыва:

 m \cdot v_0 = \frac{m}{2} \cdot (-v_0) + \frac{m}{2} \cdot v_2, 

где v_2 — горизонтальная скорость второго осколка после разрыва.

Упростим уравнение:  m \cdot v_0 = -\frac{m}{2} \cdot v_0 + \frac{m}{2} \cdot v_2. 

Сократим массу m и решим относительно v_2:  v_0 = -\frac{v_0}{2} + \frac{v_2}{2}. 

Умножим на 2:  2v_0 = -v_0 + v_2. 

 v_2 = 3v_0. 

Итак, горизонтальная скорость второго осколка после разрыва равна 3v_0.

3. Кинематика движения осколков:

Теперь найдем, где упадет второй осколок. Для этого нужно учесть, что оба осколка и снаряд до разрыва находятся в верхней точке на расстоянии L от орудия. Времена падения обоих осколков на землю одинаковы, так как разрыв произошел в верхней точке, а вертикальная составляющая скорости всех частей равна нулю.

Время падения определяется только высотой H верхней точки траектории. Для снаряда высота определяется формулой:

 H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}, 

где \theta — угол вылета снаряда, g — ускорение свободного падения.

Время падения:  t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}. 

4. Горизонтальное перемещение второго осколка:

Горизонтальное перемещение второго осколка относительно точки разрыва равно:

 x_2 = v_2 \cdot t = 3v_0 \cdot \frac{v_0 \sin\theta}{g}. 

Общее расстояние от орудия до второго осколка:  L_2 = L + x_2. 

Подставим x_2:  L_2 = L + 3 \cdot \frac{v_0^2 \sin\theta}{g}. 

5. Итоговый ответ:

Расстояние, на котором упадет второй осколок от орудия, равно:

 L_2 = L + 3 \cdot \frac{v_0^2 \sin\theta}{g}.