Найти радиус R колеса

Предмет: Физика

Раздел: Механика, кинематика вращательного движения

---

Разбор задачи

В задаче рассматривается вращающееся колесо, и требуется найти радиус \( R \) колеса. Известно, что:

1. Линейная скорость \( v_1 \) точки на ободе (на краю колеса) в 2,5 раза больше \( v_2 \), линейной скорости другой точки, расположенной на расстоянии \( r = 5 \, \text{см} \) ближе к оси колеса.
2. \( v_1 = 2.5 \cdot v_2 \).

По определению линейной скорости частицы на вращающемся теле:

\[ v = \omega \cdot r, \]

где:

• \( v \) — линейная скорость точки,
• \( \omega \) — угловая скорость вращения (одинакова для всех точек тела),
• \( r \) — расстояние точки до оси вращения (ее радиус от центра).

---

Анализ условий

Для точки на ободе:

\[ v_1 = \omega \cdot R, \]

где \( R \) — радиус самого колеса (неизвестное, которое нужно найти).

Для точки, находящейся ближе к оси на расстоянии \( R - r \):

\[ v_2 = \omega \cdot (R - r). \]

Так как \( v_1 = 2.5 \cdot v_2 \), подставим выражения:

\[ \omega \cdot R = 2.5 \cdot \omega \cdot (R - r). \]

---

Решение

Сократим угловую скорость \( \omega \) (она ненулевая):

\[ R = 2.5 \cdot (R - r). \]

Раскроем скобки:

\[ R = 2.5R - 2.5r. \]

Перенесем все с \( R \) в одну сторону:

\[ R - 2.5R = -2.5r. \]

Упростим:

\[ -1.5R = -2.5r. \]

Сократим на \(-1\):

\[ 1.5R = 2.5r. \]

Найдем \( R \):

\[ R = \frac{2.5}{1.5}r. \]

Подставим \( r = 5 \, \text{см} \):

\[ R = \frac{2.5}{1.5} \cdot 5. \]

Посчитаем дробь:

\[ \frac{2.5}{1.5} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}. \]

Тогда:

\[ R = \frac{5}{3} \cdot 5 = \frac{25}{3} \approx 8.33 \, \text{см}. \]

---

Ответ:

Радиус вращающегося колеса \( R \approx 8.33 \, \text{см} \).

---

Объяснение

1. Линейная скорость точки на вращающемся теле пропорциональна расстоянию этой точки до оси вращения (\( v \sim r \)), с одним и тем же коэффициентом \(\omega\).
2. Сравнив два выражения для линейных скоростей (на ободе и внутри колеса), мы выразили радиус \( R \) через известное расстояние \( r \).
3. Подставив данные, нашли \( R \) непосредственно.