Найти работу Силы при перемещении точки системы вдоль линии при условии, от точки до точки

Определение предмета и раздела

1. Предмет: Физика
2. Раздел: Механика, в частности, работа силы в векторной форме.

Условие задачи

Задано векторное поле силы \( \mathbf{F} = y \hat{i} - x \hat{j} \). Нужно найти работу силы \( \mathbf{F} \) при перемещении точки системы вдоль линии \( a: 2x^2 + y^2 = 1 \) при условии \( y \geq 0 \), от точки \( M\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \) до точки \( N\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \).

Пошаговое решение

Шаг 1: Выражение работы силы через линию

Работа вектора силы \( \mathbf{F} \) вдоль некоторого пути \( C \) выражается следующим образом:

\[ A = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \]

Здесь:

• \( \mathbf{F} \) — сила,
• \( d\mathbf{r} \) — дифференциал вектора перемещения по траектории \( C \).

Шаг 2: Параметризация траектории

Траектория задана уравнением \( 2x^2 + y^2 = 1 \), которое описывает эллипс. Будем использовать параметризацию траектории через угол \( \theta \):

\[ x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta, \quad y = \sin \theta \]

Так как \( y \geq 0 \), мы будем ограничивать угол \( \theta \) диапазоном от \( 0 \) до \( \pi \).

Теперь найдем дифференциал перемещения \( d\mathbf{r} \):

\[ d\mathbf{r} = \frac{dx}{d\theta} d\theta \hat{i} + \frac{dy}{d\theta} d\theta \hat{j} \]

Выразим производные:

\[ \frac{dx}{d\theta} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = \cos \theta \]

Следовательно:

\[ d\mathbf{r} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}\right) d\theta \]

Шаг 3: Вычисление скалярного произведения

Теперь найдем скалярное произведение \( \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \). Напомним, что:

\[ \mathbf{F} = y \hat{i} - x \hat{j} = \sin \theta \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \hat{j} \]

Скалярное произведение:

\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \left( \sin \theta \right) \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \right) + \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \right) \left( \cos \theta \right) \]

После раскрытия скобок получится:

\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin^2 \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos^2 \theta \]

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), можем упростить выражение:

\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Шаг 4: Вычисление работы

Теперь мы можем вычислить работу силы, проинтегрировав найденное выражение по \( \theta \) от \( 0 \) до \( \pi \):

\[ A = \int_0^\pi -\frac{1}{\sqrt{2}} d\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^\pi d\theta \]

Интеграл от \( d\theta \):

\[ A = -\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \theta \right]_0^\pi = -\frac{1}{\sqrt{2}} (\pi - 0) = -\frac{\pi}{\sqrt{2}} \]

Ответ

Работа силы \( \mathbf{F} \) при движении вдоль заданной линии от точки \( M \) до точки \( N \) равна:

\[ A = -\frac{\pi}{\sqrt{2}} \]