Найти работу, которую совершил человек

Данный перечень задач относится к школьному курсу физики, разделы — механика и гидростатика. Разберем задачу 6.

Условие:

Горизонтальная платформа (диск) массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой 10 об/с. Человек массой 60 кг стоит в центре платформы. Когда человек переместился на расстояние \( \frac{3}{4} \,r \) от центра платформы, частота вращения платформы уменьшилась до 9,3 об/с. Найти работу, которую совершил человек.

Решение:

Все силы, действующие на систему, являются внутренними (нет внешних сил), поэтому будем использовать закон сохранения момента импульса:

\[ L_{\text{нач.}} = L_{\text{кон.}} \]

Где момент импульса \( L \) определяется как:

\[ L = I \cdot \omega, \]

где \( I \) — момент инерции системы, \( \omega \) — угловая скорость.

1. Рассчитаем угловые скорости:

Угловая скорость связана с частотой вращения через формулу:

\[ \omega = 2 \pi \cdot f, \]

где \( f \) — частота вращения. Подставим значения:

• Начальная угловая скорость: \[ \omega_1 = 2 \pi \cdot 10 = 20 \pi \, \text{рад/с}. \]
• Конечная угловая скорость: \[ \omega_2 = 2 \pi \cdot 9{,}3 = 18{,}6 \pi \, \text{рад/с}. \]

2. Моменты инерции диска и человека:

Момент инерции платформы (диска), вращающегося относительно своего центра:

\[ I_{\text{диск}} = \frac{1}{2} M R^2, \]

где \( M = 100 \, \text{кг} \).

Для человека (точечной массы):

\[ I_{\text{чел.}} = m r^2, \]

где \( m = 60 \, \text{кг} \), \( r \) — расстояние до оси вращения.

• До перемещения человека: \( r_1 = 0 \) (человек стоит в центре), поэтому: \[ I_{\text{чел., нач.}} = 0. \]
• После перемещения: \( r_2 = \frac{3}{4} R \), поэтому: \[ I_{\text{чел., кон.}} = 60 \cdot \left( \frac{3}{4} R \right)^2 = 60 \cdot \frac{9}{16} R^2 = \frac{540}{16} R^2 = 33{,}75 R^2. \]

3. Моменты инерции системы:

• Начальный момент инерции: \[ I_{\text{нач.}} = I_{\text{диск}} + I_{\text{чел., нач.}} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot R^2 + 0 = 50 R^2. \]
• Конечный момент инерции: \[ I_{\text{кон.}} = I_{\text{диск}} + I_{\text{чел., кон.}} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot R^2 + 33{,}75 R^2 = 50 R^2 + 33{,}75 R^2 = 83{,}75 R^2. \]

4. Применим закон сохранения момента импульса:

\[ L_{\text{нач.}} = L_{\text{кон.}} \quad \Rightarrow \quad I_{\text{нач.}} \cdot \omega_1 = I_{\text{кон.}} \cdot \omega_2. \]

Подставим значения:

\[ 50 R^2 \cdot 20 \pi = 83{,}75 R^2 \cdot 18{,}6 \pi. \]

Сократим на \( \pi R^2 \):

\[ 50 \cdot 20 = 83{,}75 \cdot 18{,}6. \]

Посчитаем:

\[ 1000 = 1556{,}25. \]