Найти путь, который он сможет пройти в гору за счет своей кинетической энергии

Предмет: Физика
Раздел: Механика, динамика вращательного движения

Условие задачи:

Дан полый тонкостенный цилиндр, который катится по горизонтальной поверхности со скоростью [v = 1.5 \, \text{м/с}]. Требуется найти путь, который он сможет пройти в гору за счет своей кинетической энергии. Уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути.

Решение задачи:

1. Кинетическая энергия цилиндра

Полый тонкостенный цилиндр катится без проскальзывания, поэтому его кинетическая энергия складывается из двух частей:

• поступательной кинетической энергии центра масс: [E_{\text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2],
• кинетической энергии вращения: [E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2],
  где [I]\ — момент инерции цилиндра относительно его оси вращения, а [\omega] — угловая скорость.

Для полого тонкостенного цилиндра момент инерции равен: [I = m R^2],
где [R] — радиус цилиндра.

Связь линейной скорости и угловой скорости при чистом качении: [\omega = \frac{v}{R}].

Подставим [\omega] в формулу для [E_{\text{вращ}}]:  E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} m R^2 \cdot \left( \frac{v}{R} \right)^2 = \frac{1}{2} m v^2. 

Таким образом, полная кинетическая энергия цилиндра равна:  E_{\text{к}} = E_{\text{пост}} + E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2. 

2. Потенциальная энергия на высоте

Когда цилиндр поднимается в гору, его кинетическая энергия полностью преобразуется в потенциальную энергию:  E_{\text{пот}} = m g h, 
где [h] — высота, на которую поднимется цилиндр, а [g = 9.8 \, \text{м/с}^2] — ускорение свободного падения.

Из закона сохранения энергии:  E_{\text{к}} = E_{\text{пот}}, 
то есть:  m v^2 = m g h. 

Масса [m] сокращается:  v^2 = g h. 

Найдём высоту:  h = \frac{v^2}{g}. 

Подставим данные:  h = \frac{(1.5)^2}{9.8} = \frac{2.25}{9.8} \approx 0.23 \, \text{м}. 

3. Связь высоты и пути в гору

По условию, уклон горы составляет 5 м на каждые 100 м пути. Это означает, что тангенс угла наклона равен:  \tan \alpha = \frac{\Delta h}{\Delta s} = \frac{5}{100} = 0.05, 
где [\Delta s] — путь вдоль наклонной плоскости, а [\Delta h] — высота.

Так как [\tan \alpha = \frac{h}{s}], то путь [s] выражается как:  s = \frac{h}{\tan \alpha}. 

Подставим значения:  s = \frac{0.23}{0.05} = 4.6 \, \text{м}. 

Ответ:

Цилиндр пройдет путь [s \approx 4.6 \, \text{м}] в гору за счет своей кинетической энергии.