Найти путь, который он пройдет в гору за счет своей кинетической энергии

Предмет: Физика

Раздел: Механика (Динамика и законы сохранения)

Условие задачи

Полый тонкостенный цилиндр катится по горизонтальной поверхности со скоростью [v = 1.5] м/с. Требуется найти путь, который он пройдет в гору за счет своей кинетической энергии. Уклон горы составляет 5 м подъема на каждые 100 м пути.

Решение

Для решения задачи используем закон сохранения механической энергии. Кинетическая энергия цилиндра на горизонтальном участке преобразуется в потенциальную энергию при подъеме в гору.

1. Кинетическая энергия цилиндра
   Полый тонкостенный цилиндр обладает как поступательной, так и вращательной кинетической энергией. Полная кинетическая энергия цилиндра выражается как:

K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2,

где:

• [m] — масса цилиндра,
• [v] — скорость поступательного движения,
• [I] — момент инерции цилиндра,
• [\omega] — угловая скорость вращения цилиндра.

Для полого тонкостенного цилиндра момент инерции [I] равен:

I = m R^2,

где [R] — радиус цилиндра.

Угловая скорость связана с поступательной скоростью соотношением:

\omega = \frac{v}{R}.

Подставляем [I] и [\omega] в формулу для кинетической энергии:

K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m R^2 \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2.

Таким образом, полная кинетическая энергия цилиндра:

K = m v^2.

2. Потенциальная энергия на подъеме
   Когда цилиндр поднимается в гору, его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию:

P = m g h,

где:

• [g] — ускорение свободного падения ([g = 9.8] м/с²),
• [h] — высота подъема.

3. Соотношение высоты и пути по уклону
   Уклон горы равен 5 м подъема на каждые 100 м пути. Это означает, что высота [h] и длина пути [s] связаны соотношением:

\frac{h}{s} = \frac{5}{100} = 0.05,
или
h = 0.05 s.

4. Закон сохранения энергии
   При подъеме цилиндра вся его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию:

m v^2 = m g h.

Масса цилиндра [m] сокращается:

v^2 = g h.

Подставляем [h = 0.05 s]:

v^2 = g (0.05 s).

Выразим путь [s]:

s = \frac{v^2}{g \cdot 0.05}.

5. Подставляем численные значения
   Скорость [v = 1.5] м/с, ускорение свободного падения [g = 9.8] м/с²:

s = \frac{(1.5)^2}{9.8 \cdot 0.05} = \frac{2.25}{0.49} \approx 4.59 \, \text{м}.

Ответ:

Цилиндр пройдет путь примерно [s \approx 4.59] м в гору за счет своей кинетической энергии.