Найти первую космическую скорость

Предмет: Физика
Раздел: Механика — Гравитация и движение по орбите

Условие задачи:

Найти первую космическую скорость — минимальную скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться по круговой орбите вокруг Земли (стало искусственным спутником).

Теоретическая база:

Первая космическая скорость — это орбитальная скорость тела, движущегося по низкой круговой орбите около планеты (в данном случае — Земли), при которой центростремительное ускорение обеспечивается только силой гравитационного притяжения.

Для тела массой [m], движущегося по круговой орбите радиуса [R] вокруг Земли массой [M], уравнение баланса сил:

 \frac{G M m}{R^2} = \frac{m v^2}{R} 

Здесь:

• G — гравитационная постоянная: 6{,}674 \cdot 10^{-11}~\text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2
• M — масса Земли: 5{,}972 \cdot 10^{24}~\text{кг}
• R — радиус Земли: 6{,}371 \cdot 10^6~\text{м}
• v — искомая первая космическая скорость

Сокращаем массу тела m и решаем уравнение относительно v:

 \frac{G M}{R^2} = \frac{v^2}{R} 

Умножаем обе части на R:

 \frac{G M}{R} = v^2 

Тогда:

 v = \sqrt{\frac{G M}{R}} 

Подставим численные значения:

 v = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24}}{6{,}371 \cdot 10^6}} 

Вычислим числитель:

 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24} \approx 3{,}986 \cdot 10^{14} 

Теперь делим на 6{,}371 \cdot 10^6:

 \frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}371 \cdot 10^6} \approx 6{,}26 \cdot 10^7 

Теперь извлекаем корень:

 v \approx \sqrt{6{,}26 \cdot 10^7} \approx 7{,}9 \cdot 10^3 = 7{,}9~\text{км/с} 

Ответ:

Первая космическая скорость у поверхности Земли составляет:

v_1 \approx 7{,}9~\text{км/с}