Найти период T колебаний обруча

Предмет: Физика

Раздел: Механика, колебания физических тел

Условие задачи:

Тонкий обруч радиусом R = 50 \, \text{мм} = 0.05 \, \text{м} подвешен на гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Требуется найти период T колебаний обруча.

Решение:

Движение обруча вокруг точки подвеса можно рассматривать как движение физического маятника. Период колебаний физического маятника определяется формулой:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g h}},

где:

• I — момент инерции обруча относительно оси вращения,
• m — масса обруча,
• g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 — ускорение свободного падения,
• h — расстояние от точки подвеса до центра масс обруча.

1. Определим момент инерции I:

Обруч подвешен на гвоздь, и он вращается вокруг точки, находящейся на его окружности. Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через центр, равен:
I_{\text{центр}} = m R^2.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции относительно оси, смещённой на расстояние R, будет:
I = I_{\text{центр}} + m R^2 = m R^2 + m R^2 = 2 m R^2.

2. Определим расстояние h:

Центр масс обруча находится в его геометрическом центре, а точка подвеса расположена на окружности обруча. Следовательно, расстояние от точки подвеса до центра масс равно радиусу обруча:
h = R.

3. Подставим значения в формулу периода:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g h}} = 2\pi \sqrt{\frac{2 m R^2}{m g R}}.

Сокращаем массу m и радиус R в числителе и знаменателе:

T = 2\pi \sqrt{\frac{2 R}{g}}.

4. Подставим численные значения:

R = 0.05 \, \text{м}, \, g = 9.8 \, \text{м/с}^2.

T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 0.05}{9.8}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.1}{9.8}} = 2\pi \sqrt{0.0102} \approx 2\pi \cdot 0.101.

T \approx 0.635 \, \text{с}.

Ответ:

Период колебаний обруча T \approx 0.635 \, \text{с}.