Найти период колебаний диска относительно этой оси

Предмет: Физика
Раздел: Механика, колебания, физический маятник

Условие задачи:

Одногранный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра диска.
Найти период колебаний диска относительно этой оси.

Шаг 1: Понимание задачи

Это задача на физический маятник — твердое тело, совершающее малые колебания относительно неподвижной оси, не проходящей через центр масс.

Формула периода колебаний физического маятника:

 T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}} 

где:

• I — момент инерции тела относительно оси колебаний
• m — масса тела
• g — ускорение свободного падения
• d — расстояние от оси колебаний до центра масс

Шаг 2: Момент инерции диска относительно оси

Момент инерции относительно оси, не проходящей через центр, находим по теореме Штейнера:

 I = I_c + m d^2 

где:

• I_c = \frac{1}{2} m R^2 — момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной плоскости диска
• d = 15 \text{ см} = 0{,}15 \text{ м} — расстояние от центра до оси
• R = 20 \text{ см} = 0{,}2 \text{ м}

Подставим в формулу:

 I = \frac{1}{2} m R^2 + m d^2 = m \left( \frac{1}{2} R^2 + d^2 \right) 

Шаг 3: Подставим в формулу периода

 T = 2\pi \sqrt{ \frac{m \left( \frac{1}{2} R^2 + d^2 \right)}{m g d} } = 2\pi \sqrt{ \frac{ \frac{1}{2} R^2 + d^2 }{g d} } 

Масса m сокращается.

Шаг 4: Подстановка чисел

Подставим значения:

• R = 0{,}2 \, \text{м}
• d = 0{,}15 \, \text{м}
• g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2

 T = 2\pi \sqrt{ \frac{ \frac{1}{2} \cdot (0{,}2)^2 + (0{,}15)^2 }{9{,}8 \cdot 0{,}15} } = 2\pi \sqrt{ \frac{ 0{,}02 + 0{,}0225 }{1{,}47} } = 2\pi \sqrt{ \frac{0{,}0425}{1{,}47} } 

 \frac{0{,}0425}{1{,}47} \approx 0{,}0289 

 \sqrt{0{,}0289} \approx 0{,}17 

 T \approx 2\pi \cdot 0{,}17 \approx 1{,}07 \, \text{с} 

✅ Ответ:

T \approx 1{,}07 \, \text{с} — период колебаний диска относительно заданной оси.