Найти момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному, и определить полное ускорение в этот момент

Определение предмета и раздела:

Предмет — физика. Раздел — механика, подгруппа — кинематика движения по окружности. Теперь перейдём к решению задачи.

Дано:

• Радиус окружности \( R = 2 \, м \),
• Закон движения точки по окружности: \( S = 2t^3 \), где \( S \) — пройденный путь вдоль окружности (в метрах), \( t \) — время (в секундах).

Необходимо найти момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному, и определить полное ускорение в этот момент.

1. Запишем уравнения для тангенциального и нормального ускорений.

Тангенциальное ускорение \( a_{\tau} \)

Тангенциальное ускорение связано с изменением скорости по касательной к траектории. Для его нахождения нужно определить скорость \( v \) как производную пройденного пути по времени:

\[ v = \frac{dS}{dt} = \frac{d(2t^3)}{dt} = 6t^2 \]

Тангенциальное ускорение — это производная от скорости по времени:

\[ a_{\tau} = \frac{dv}{dt} = \frac{d(6t^2)}{dt} = 12t \]

Нормальное ускорение \( a_n \)

Нормальное ускорение рассчитывается по формуле:

\[ a_n = \frac{v^2}{R} \]

Используем выражение для скорости \( v = 6t^2 \) для нахождения нормального ускорения:

\[ a_n = \frac{(6t^2)^2}{R} = \frac{36t^4}{R} \]

Подставим значение радиуса \( R = 2 \, м \):

\[ a_n = \frac{36t^4}{2} = 18t^4 \]

2. Уравнение для равенства нормального и тангенциального ускорений

Нам нужно найти момент времени \( t \), когда нормальное ускорение \( a_n \) будет равно тангенциальному ускорению \( a_{\tau} \):

\[ a_{\tau} = a_n \]

Подставим выражения для \( a_{\tau} \) и \( a_n \):

\[ 12t = 18t^4 \]

Разделим обе части на \( t \) (при \( t \neq 0 \)):

\[ 12 = 18t^3 \]

Теперь решим это уравнение для \( t \):

\[ t^3 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \]

\[ t = \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \approx 0.874 \, \text{с} \]

3. Полное ускорение

Полное ускорение \( a \) находится по формуле:

\[ a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_n^2} \]

Подставим значения \( a_{\tau} = 12t \) и \( a_n = 18t^4 \):

При \( t \approx 0.874 \, с \):

• \( a_{\tau} = 12 \times 0.874 \approx 10.488 \, \text{м/с}^2 \),
• \( a_n = 18 \times (0.874)^4 \approx 10.488 \, \text{м/с}^2 \).

Так как \( a_{\tau} = a_n \), то полное ускорение будет:

Ответ:

1. Нормальное ускорение станет равным тангенциальному в момент времени \( t \approx 0.874 \, с \).
2. Полное ускорение в этот момент времени \( a \approx 14.83 \, \text{м/с}^2 \).