Найти момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному, и определить полное ускорение в этот момент

Главная
Физика
Механика
Найти момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному, и определить полное ускорение в этот момент

Определение предмета и раздела:

Предмет — физика. Раздел — механика, подгруппа — кинематика движения по окружности. Теперь перейдём к решению задачи.

Дано:

Радиус окружности $$R = 2 м $$ ,
Закон движения точки по окружности: $$S = 2 t^{3} $$ , где $$S $$ — пройденный путь вдоль окружности (в метрах), $$t $$ — время (в секундах).

Необходимо найти момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному, и определить полное ускорение в этот момент.

1. Запишем уравнения для тангенциального и нормального ускорений.

Тангенциальное ускорение $$a_{τ} $$

Тангенциальное ускорение связано с изменением скорости по касательной к траектории. Для его нахождения нужно определить скорость $$v $$ как производную пройденного пути по времени:

$\[v = \frac{d S}{d t} = \frac{d (2 t^{3})}{d t} = 6 t^{2} \]$

Тангенциальное ускорение — это производная от скорости по времени:

$\[a_{τ} = \frac{d v}{d t} = \frac{d (6 t^{2})}{d t} = 12 t \]$

Нормальное ускорение $$a_{n} $$

Нормальное ускорение рассчитывается по формуле:

$\[a_{n} = \frac{v^{2}}{R} \]$

Используем выражение для скорости $$v = 6 t^{2} $$ для нахождения нормального ускорения:

$\[a_{n} = \frac{(6 t^{2})^{2}}{R} = \frac{36 t^{4}}{R} \]$

Подставим значение радиуса $$R = 2 м $$ :

$\[a_{n} = \frac{36 t^{4}}{2} = 18 t^{4} \]$

2. Уравнение для равенства нормального и тангенциального ускорений

Нам нужно найти момент времени $$t $$ , когда нормальное ускорение $$a_{n} $$ будет равно тангенциальному ускорению $$a_{τ} $$ :

$\[a_{τ} = a_{n} \]$

Подставим выражения для $$a_{τ} $$ и $$a_{n} $$ :

$\[12 t = 18 t^{4} \]$

Разделим обе части на $$t $$ (при $$t \neq 0 $$ ):

$\[12 = 18 t^{3} \]$

Теперь решим это уравнение для $$t $$ :

$\[t^{3} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \]$

$\[t = \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \approx 0.874 с \]$

3. Полное ускорение

Полное ускорение $$a $$ находится по формуле:

$\[a = \sqrt{a_{τ}^{2} + a_{n}^{2}} \]$

Подставим значения $$a_{τ} = 12 t $$ и $$a_{n} = 18 t^{4} $$ :

При $$t \approx 0.874 с $$ :

$$a_{τ} = 12 \times 0.874 \approx 10.488 {м/с}^{2} $$ ,
$$a_{n} = 18 \times (0.874)^{4} \approx 10.488 {м/с}^{2} $$ .

Так как $$a_{τ} = a_{n} $$ , то полное ускорение будет:

Ответ:

Нормальное ускорение станет равным тангенциальному в момент времени $$t \approx 0.874 с $$ .
Полное ускорение в этот момент времени $$a \approx 14.83 {м/с}^{2} $$ .

$\[a = \sqrt{a_{τ}^{2} + a_{n}^{2}} = \sqrt{{10.488}^{2} + {10.488}^{2}} = \sqrt{2 \times {10.488}^{2}} = 10.488 \sqrt{2} \approx 14.83 {м/с}^{2} \]$

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!

Найти момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному, и определить полное ускорение в этот момент

Определение предмета и раздела:

Дано:

1. Запишем уравнения для тангенциального и нормального ускорений.

Тангенциальное ускорение $\(a_{τ} \)$

Нормальное ускорение $\(a_{n} \)$

2. Уравнение для равенства нормального и тангенциального ускорений

3. Полное ускорение

Ответ:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ:

Время — это деньги!

Найти момент времени, когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному, и определить полное ускорение в этот момент

Определение предмета и раздела:

Дано:

1. Запишем уравнения для тангенциального и нормального ускорений.

Тангенциальное ускорение \(aτ\)

Нормальное ускорение \(an\)

2. Уравнение для равенства нормального и тангенциального ускорений

3. Полное ускорение

Ответ:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ:

Тангенциальное ускорение $\(a_{τ} \)$

Нормальное ускорение $\(a_{n} \)$