Найти момент инерции системы относительно заданной оси

Определение предмета и раздела:

Этот вопрос относится к предмету физики, разделу механики (динамики). Конкретно, рассматривается момент инерции системы относительно заданной оси.

Решение задачи:

Чтобы найти момент инерции системы относительно заданной оси, нужно рассмотреть положение каждой составляющей системы: стержня и шариков, которые находятся на концах. Применяется формула момента инерции: \[ I = \sum m_i r_i^2 \]

где:

• \( m_i \) — масса \( i \)-го объекта,
• \( r_i \) — расстояние от точки \( O \) до объекта.

Шаг 1. Расчет моментов инерции шариков \(m\) и \(2m\):

• Первый шарик массой \( m \) находится на расстоянии \( r = 0.5 \, \text{м} \) от точки \( O \) (так как стержень длиной \( 1 \, \text{м} \), а точка \( O \) находится на середине). Его момент инерции: \[ I_1 = m r^2 = m (0.5)^2 = m \cdot 0.25 \]
• Второй шарик массой \( 2m \) также находится на расстоянии \( r = 0.5 \, \text{м} \) от точки \( O \). Его момент инерции: \[ I_2 = (2m) r^2 = 2m (0.5)^2 = 2m \cdot 0.25 = m \cdot 0.5 \]

Шаг 2. Расчет момента инерции стержня:

У стержня масса равна \( 3m \), и он является однородным. Для однородного стержня момента инерции относительно оси, проходящей через его середину, формула выглядит так: \[ I_{\text{стержень}} = \frac{1}{12} M l^2 \]

где:

• \( M \) — масса стержня (\( 3m \)),
• \( l \) — длина стержня (\( 1 \, \text{м} \)).

Подставим значения: \[ I_{\text{стержень}} = \frac{1}{12} (3m) (1)^2 = \frac{3m}{12} = \frac{m}{4}. \]

Шаг 3. Сложение всех моментов инерции:

Теперь суммируем моменты инерции всех частей системы: \[ I = I_1 + I_2 + I_{\text{стержень}}. \]

Подставляем найденные значения: \[ I = m \cdot 0.25 + m \cdot 0.5 + \frac{m}{4}. \]

Приведем все к общему знаменателю: \[ I = \frac{m}{4} + \frac{2m}{4} + \frac{m}{4} = \frac{4m}{4} = m. \]

Шаг 4. Подстановка значения \( m = 0.1 \, \text{кг} \):

Подставим значение массы \( m \): \[ I = m = 0.1 \, \text{кг·м}^2. \]

Ответ:

Момент инерции системы относительно заданной оси равен: \[ I = 0.1 \, \text{кг·м}^2. \]

Формула позволяет сложить моменты инерции для каждого тела в системе.