Найти момент инерции однородного тела, ограниченного поверхностями

1. Определение предмета и раздела

Предмет: Физика
Раздел: Механика, динамика вращательного движения (Момент инерции твердых тел)

2. Задание

Найти момент инерции однородного тела \( V \), ограниченного поверхностями:

\[ y^2 + z^2 = x^2 \quad \text{и} \quad y^2 + z^2 = 9, \quad x \geq 0 \] относительно оси \( OX \).

3. Постановка задачи

Мы имеем дело с телом, которое находится внутри двух поверхностей:

1. \( y^2 + z^2 = x^2 \), которое представляет собой конус с вершиной в начале координат, и осью вдоль оси \( OX \).
2. \( y^2 + z^2 = 9 \), представляющую собой цилиндр радиуса 3 с осью вдоль \( OX \).

Таким образом, тело представляет собой часть конуса, ограниченную цилиндром радиуса 3. Мы должны вычислить его момент инерции относительно оси \( OX \).

4. Формула для момента инерции

Момент инерции относительно оси \( OX \) для объемного тела выражается формулой:

\[ I_x = \int_V (y^2 + z^2) \, \rho \, dV \]

где \( \rho \) — плотность тела (в данном случае плотность однородного тела постоянна), а \( dV \) — элемент объема.

Цилиндрические координаты

Переходим к цилиндрическим координатам:

• \( y = r \cos \theta \)
• \( z = r \sin \theta \)
• \( r^2 = y^2 + z^2 \)
• Тело вращается вокруг оси \( OX \), и элемент объема в цилиндрических координатах: \( dV = r \, dr \, d\theta \, dx \).

5. Пределы интегрирования

• Пределы для \( x \): Так как тело ограничено конусом \( y^2 + z^2 = x^2 \), и цилиндром \( y^2 + z^2 = 9 \), то: \[ -3 \leq x \leq 3 \]
• Пределы для \( r \) (радиуса): В случае конуса \( r^2 = x^2 \), а цилиндра \( r = 3 \). Следовательно, пределы для \( r \) будут от \( |x| \) до 3, то есть: \[ |x| \leq r \leq 3 \]
• Предел для угла \( \theta \): \( \theta \) изменяется от 0 до \( 2\pi \) при полном обороте вокруг оси \( OX \).

6. Запись интеграла

Теперь мы можем записать момент инерции тела относительно оси \( OX \):

\[ I_x = \int_{-3}^{3} \int_{|x|}^{3} \int_0^{2\pi} (r^2) \times \rho \, r \, d\theta \, dr \, dx \]

7. Вычисление интегралов

Интегрирование по \( \theta \):

\[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \]

Подставляем это в основной интеграл:

\[ I_x = 2\pi \rho \int_{-3}^{3} \int_{|x|}^{3} r^3 \, dr \, dx \]

Интегрирование по \( r \):

Интеграция \( r^3 \) по \( r \) даёт:

\[ \int_{|x|}^{3} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{|x|}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{(|x|)^4}{4} = \frac{81 - x^4}{4} \]

Интегрирование по \( x \):

Осталось выполнить интегрирование по \( x \):

\[ I_x = 2 \pi \frac{\rho}{4} \int_{-3}^{3} (81 - x^4) \, dx \]

Так как подынтегральное выражение чётное, можем удвоить интеграл от 0 до 3:

\[ I_x = \frac{\pi \rho}{2} \times 2 \int_0^{3} (81 - x^4) \, dx = \pi \rho \int_0^{3} (81 - x^4) \, dx \]

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

\[ \int_0^{3} 81 \, dx = 81x \Big|_0^3 = 81 \times 3 = 243 \]

\[ \int_0^{3} x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \Big|_0^3 = \frac{3^5}{5} = \frac{243}{5} \]

Таким образом:

\[ I_x = \pi \rho \left( 243 - \frac{243}{5} \right) = \pi \rho \times \frac{972}{5} \]

8. Заключение

Момент инерции тела относительно оси \( OX \) равен:

\[ I_x = \frac{972 \pi \rho}{5} \]

где \( \rho \) — плотность тела.