Найти максимальную скорость второго тела

Предмет: Физика

Раздел: Механика (Законы сохранения энергии и импульса)

1. Масса первого тела \( m_1 = 1 \, \text{кг} \),
2. Масса второго тела \( m_2 = 2 \, \text{кг} \),
3. Начальная потенциальная энергия пружины \( E = 3 \, \text{Дж} \),
4. Гладкая горизонтальная поверхность.

Решение:

1. Применяем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию двух тел. \[ E = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2, \] где \( v_1 \) — скорость первого тела, \( v_2 \) — скорость второго тела.
2. Применяем закон сохранения импульса. Исходный импульс равен нулю, так как тела покоились. \[ m_1 v_1 = m_2 v_2. \] Выразим скорость первого тела: \[ v_1 = \frac{m_2}{m_1} v_2. \]
3. Подставляем выражение для \( v_1 \) в уравнение энергии: \[ E = \frac{1}{2} m_1 \left(\frac{m_2}{m_1} v_2\right)^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2. \] Упростим выражение: \[ E = \frac{1}{2} m_1 \frac{m_2^2}{m_1^2} v_2^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2, \] \[ E = \frac{1}{2} \frac{m_2^2}{m_1} v_2^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2. \] Вынесем \( \frac{1}{2} v_2^2 \) за скобки: \[ E = \frac{1}{2} v_2^2 \left( \frac{m_2^2}{m_1} + m_2 \right). \]
4. Выразим \( v_2^2 \): \[ v_2^2 = \frac{2E}{\frac{m_2^2}{m_1} + m_2}. \] Преобразуем знаменатель: \[ v_2^2 = \frac{2E}{\frac{m_2^2 + m_1 m_2}{m_1}}. \] Упростим: \[ v_2^2 = \frac{2E m_1}{m_2^2 + m_2 m_1}. \]
5. Подставляем численные значения: \[ v_2^2 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 1}{2^2 + 2 \cdot 1}. \] \[ v_2^2 = \frac{6}{4 + 2}. \] \[ v_2^2 = \frac{6}{6} = 1. \]
6. Находим \( v_2 \): \[ v_2 = \sqrt{1} = 1 \, \text{м/с}. \]

Необходимо найти максимальную скорость второго тела \( v_2 \).