Найти координаты центра тяжести однородного тела,2ограниченного поверхностью

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Статика

Мы ищем координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного заданной поверхностью и плоскостью. Для нахождения центра тяжести используется метод интегрирования, так как тело имеет непрерывное распределение массы.

Условие задачи:

Тело ограничено:

1. Поверхностью [z = 2 - x^2], которая представляет собой параболическую поверхность.
2. Плоскостью [y = 4].

Общий подход к решению:

Центр тяжести однородного тела определяется формулами:
 \bar{x} = \frac{1}{M} \int\int\int x \, dm, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \int\int\int y \, dm, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \int\int\int z \, dm 
где [M] — масса тела, а [dm = \rho \, dV] — элемент массы, выраженный через плотность [\rho] и элемент объема [dV].

Для однородного тела плотность [\rho] постоянна и сокращается при вычислении центра тяжести.

Элементарный объем в декартовой системе координат:
[dV = dx \, dy \, dz].

Теперь найдем границы интегрирования для каждого из координат.

Границы интегрирования:

1. Плоскость [y = 4] задает постоянное значение [y].
2. Поверхность [z = 2 - x^2] задает ограничение по [z], где [z] изменяется от 0 до [2 - x^2].
3. Для [x] ограничение определяется из проекции параболической поверхности на плоскость [z = 0], то есть [2 - x^2 = 0], откуда [x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}].

Выражение для массы тела:

Масса тела [M] вычисляется как:
 M = \int\int\int dm = \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{y=0}^{4} \int_{z=0}^{2-x^2} \rho \, dz \, dy \, dx 

Так как тело однородное, [\rho] можно вынести за знак интеграла:
 M = \rho \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{y=0}^{4} \int_{z=0}^{2-x^2} dz \, dy \, dx 

Вычислим этот интеграл:

1. Интегрируем по [z]:
    \int_{z=0}^{2-x^2} dz = \left[ z \right]_0^{2-x^2} = 2 - x^2 

2. Подставляем в интеграл:
    M = \rho \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{y=0}^{4} (2 - x^2) \, dy \, dx 

3. Интегрируем по [y]:
    \int_{y=0}^{4} (2 - x^2) \, dy = (2 - x^2) \int_{y=0}^{4} dy = (2 - x^2) \cdot 4 = 4(2 - x^2) 

4. Подставляем в интеграл:
    M = \rho \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4(2 - x^2) \, dx 

5. Вынесем константу [4] за знак интеграла:
    M = 4\rho \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) \, dx 

6. Разделим интеграл на два слагаемых:
    M = 4\rho \left( \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 \, dx - \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx \right) 

Вычисление первого интеграла:

 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 \, dx = 2 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} dx = 2 \cdot \left[ x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 2 \cdot (\sqrt{2} - (-\sqrt{2})) = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} 

Вычисление второго интеграла:

 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{3} - \frac{(-\sqrt{2})^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{3} 

Подставляем результаты:

 M = 4\rho \left( 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) 

Приводим к общему знаменателю:
 M = 4\rho \cdot \frac{12\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3} = 4\rho \cdot \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}\rho}{3} 

Координаты центра тяжести:

Теперь найдем [\bar{x}], [\bar{y}] и [\bar{z}].

Координата [\bar{x}]:

 \bar{x} = \frac{1}{M} \int\int\int x \, dm = \frac{1}{M} \rho \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{y=0}^{4} \int_{z=0}^{2-x^2} x \, dz \, dy \, dx 

1. Интегрируем по [z]:
    \int_{z=0}^{2-x^2} x \, dz = x \int_{z=0}^{2-x^2} dz = x \cdot (2 - x^2) 

2. Подставляем в интеграл:
    \bar{x} = \frac{\rho}{M} \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{y=0}^{4} x(2 - x^2) \, dy \, dx 

3. Интегрируем по [y]:
    \int_{y=0}^{4} x(2 - x^2) \, dy = x(2 - x^2) \int_{y=0}^{4} dy = x(2 - x^2) \cdot 4 = 4x(2 - x^2) 

4. Подставляем в интеграл:
    \bar{x} = \frac{\rho}{M} \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4x(2 - x^2) \, dx 

5. Вынесем [4] за знак интеграла:
    \bar{x} = \frac{4\rho}{M} \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x(2 - x^2) \, dx 

6. Раскроем скобки:
    \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x(2 - x^2) \, dx = \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2x - x^3) \, dx = \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2x \, dx - \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^3 \, dx 

Первый интеграл:

 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2x \, dx = 2 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \left[ x^2 \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^2 - (-\sqrt{2})^2 = 2 - 2 = 0 

Второй интеграл:

 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^4}{4} - \frac{(-\sqrt{2})^4}{4} = \frac{4}{4} - \frac{4}{4} = 0 

Таким образом, [\bar{x} = 0].

Координата [\bar{y}]:

Так как [y] постоянно изменяется от 0 до 4, центр тяжести по оси [y] будет находиться в середине этого отрезка:
 \bar{y} = \frac{0 + 4}{2} = 2 

Координата [\bar{z}]:

 \bar{z} = \frac{1}{M} \int\int\int z \, dm 

Аналогично предыдущим вычислениям, проведем интегрирование:
 \bar{z} = \frac{1}{M} \rho \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{y=0}^{4} \int_{z=0}^{2-x^2} z \, dz \, dy \, dx 

1. Интегрируем по [z]:
    \int_{z=0}^{2-x^2} z \, dz = \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^{2-x^2} = \frac{(2-x^2)^2}{2} 

2. Подставляем в интеграл:
    \bar{z} = \frac{\rho}{M} \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{y=0}^{4} \frac{(2-x^2)^2}{2} \, dy \, dx 

3. Интегрируем по [y]:
    \int_{y=0}^{4} \frac{(2-x^2)^2}{2} \, dy = \frac{(2-x^2)^2}{2} \cdot \int_{y=0}^{4} dy = \frac{(2-x^2)^2}{2} \cdot 4 = 2(2-x^2)^2 

4. Подставляем в интеграл:
    \bar{z} = \frac{\rho}{M} \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2(2-x^2)^2 \, dx 

5. Раскрываем квадрат:
    (2-x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4 

Подставляем:
 \bar{z} = \frac{\rho}{M} \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2(4 - 4x^2 + x^4) \, dx = \frac{\rho}{M} \cdot 2 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 4x^2 + x^4) \, dx 

Разделяем интеграл:
 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 4x^2 + x^4) \, dx = \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4 \, dx - \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4x^2 \, dx + \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^4 \, dx 

Первый интеграл:

 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4 \, dx = 4 \cdot \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} dx = 4 \cdot \left[ x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 4 \cdot (\sqrt{2} - (-\sqrt{2})) = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} 

Второй интеграл:

 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4x^2 \, dx = 4 \cdot \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx = 4 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3} 

Третий интеграл:

 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^5}{5} - \frac{(-\sqrt{2})^5}{5} = 0 

Подставляем результаты:
 \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 4x^2 + x^4) \, dx = 8\sqrt{2} - \frac{16\sqrt{2}}{3} + 0 = \frac{24\sqrt{2}}{3} - \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3} 

Подставляем в [\bar{z}]:
 \bar{z} = \frac{\rho}{M} \cdot 2 \cdot \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{\rho}{M} \cdot \frac{16\sqrt{2}}{3} 

Подставляем [M = \frac{32\sqrt{2}\rho}{3}]:
 \bar{z} = \frac{\frac{16\sqrt{2}}{3}}{\frac{32\sqrt{2}}{3}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} 

Ответ:

Координаты центра тяжести:
 \bar{x} = 0, \quad \bar{y} = 2, \quad \bar{z} = \frac{1}{2}