Найти координаты центра масс

Предмет: Механика
Раздел: Теория центра масс, статика

Дано:
Однородное тело, ограниченное поверхностями
y = 3\sqrt{x^2 + z^2},
x^2 + z^2 = 16,
y = 0.

Нужно найти координаты центра масс этого тела.

Шаг 1. Анализ задачи и геометрия тела

Поверхность y = 3\sqrt{x^2 + z^2} задаёт конус с осью вдоль оси y, вершина которого в начале координат.
Поверхность x^2 + z^2 = 16 — цилиндр радиуса 4 вдоль оси y.
Поверхность y=0 — плоскость, ограничивающая тело снизу.

Таким образом, тело — часть конуса, ограниченная цилиндром радиуса 4 и плоскостью y=0.

Шаг 2. Симметрия и координаты центра масс

Тело однородное и симметрично относительно оси y.
Поэтому координаты центра масс по x и z равны нулю:
\bar{x} = 0, \quad \bar{z} = 0.

Нужно найти только \bar{y}.

Шаг 3. Переход к цилиндрическим координатам

Введём цилиндрические координаты:
r = \sqrt{x^2 + z^2}, \quad \theta = \arctan \frac{z}{x}, \quad y = y.

Тогда:
y = 3r, \quad 0 \le r \le 4, \quad 0 \le \theta \le 2\pi, \quad 0 \le y \le 3r.

Шаг 4. Объём тела

Объём элемента в цилиндрических координатах:
dV = r \, dr \, d\theta \, dy.

Объём тела:
V = \int_0^{2\pi} \int_0^4 \int_0^{3r} r \, dy \, dr \, d\theta.

Интегрируем по y:
\int_0^{3r} dy = 3r.

Получаем:
V = \int_0^{2\pi} \int_0^4 r \cdot 3r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^4 3r^2 \, dr \, d\theta.

Интегрируем по r:
\int_0^4 3r^2 \, dr = 3 \cdot \frac{4^3}{3} = 64.

Интегрируем по \theta:
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Итог:
V = 64 \cdot 2\pi = 128\pi.

Шаг 5. Координата центра масс по y

\bar{y} = \frac{1}{V} \int y \, dV = \frac{1}{V} \int_0^{2\pi} \int_0^4 \int_0^{3r} y \cdot r \, dy \, dr \, d\theta.

Интегрируем по y:
\int_0^{3r} y \, dy = \left.\frac{y^2}{2}\right|_0^{3r} = \frac{(3r)^2}{2} = \frac{9r^2}{2}.

Тогда:
\bar{y} = \frac{1}{128\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^4 r \cdot \frac{9r^2}{2} \, dr \, d\theta = \frac{1}{128\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^4 \frac{9r^3}{2} \, dr \, d\theta.

Интегрируем по r:
\int_0^4 \frac{9r^3}{2} dr = \frac{9}{2} \cdot \frac{4^4}{4} = \frac{9}{2} \cdot 64 = 288.

Интегрируем по \theta:
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Итог:
\bar{y} = \frac{1}{128\pi} \cdot 288 \cdot 2\pi = \frac{576\pi}{128\pi} = \frac{576}{128} = 4.5.

Ответ:

\boxed{(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) = (0, 4.5, 0)}.

Координаты центра масс однородного тела:
\bar{x} = 0, \quad \bar{y} = 4.5, \quad \bar{z} = 0.