Найти координаты центра тяжести составной плоской фигуры по условию 7

Предмет: Физика
Раздел: Статика (Механика) — Центр тяжести (центр масс) плоской фигуры

Задание:
Найти координаты центра тяжести составной плоской фигуры по условию 7.
Система координат: xy
Фигура состоит из:

• прямоугольника,
• равностороннего треугольника,
• двух вырезанных кругов (с радиусами R = 20 см и r = 20 см).

Дано по условию 7:

Из таблицы:

• a = 75 см
• e = 20 см
• b = 85 см
• c = 35 см
• d = 65 см
• l = 20 см
• R = 20 см
• r = 20 см

Шаг 1: Разбиение фигуры

Фигура состоит из следующих элементов:

1. Прямоугольник (левый)
2. Равносторонний треугольник (правый)
3. Круг (радиус R = 20 см) — вырезан из прямоугольника
4. Круг (радиус r = 20 см) — вырезан из треугольника

Все координаты будем находить в системе xy, как указано в таблице.

Шаг 2: Определение координат центров масс и площадей элементов

1. Прямоугольник:

• Ширина: a = 75 см
• Высота: b = 85 см

Площадь:
S_1 = a \cdot b = 75 \cdot 85 = 6375 \, \text{см}^2

Координаты центра масс:
x_1 = \frac{a}{2} = \frac{75}{2} = 37.5 \, \text{см}
y_1 = \frac{b}{2} = \frac{85}{2} = 42.5 \, \text{см}

2. Равносторонний треугольник:

• Сторона: 3a = 3 \cdot 75 = 225 см
• Высота: d = 65 см

Площадь:
S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 65 = 4875 \, \text{см}^2

Координаты центра тяжести (в треугольнике центр тяжести находится на 1/3 высоты от основания):

• По x: центр основания на x = a + \frac{a}{2} = 75 + 37.5 = 112.5 \, \text{см}
• По y: y = \frac{d}{3} = \frac{65}{3} \approx 21.67 \, \text{см}

3. Круг (вырез в прямоугольнике):

• Радиус: R = 20 см
• Центр круга:
  • по x: x = e = 20 \, \text{см}
  • по y: y = b - c = 85 - 35 = 50 \, \text{см}

Площадь (отрицательная, так как вырез):
S_3 = -\pi R^2 = -\pi \cdot 20^2 = -400\pi \approx -1256.64 \, \text{см}^2

4. Круг (вырез в треугольнике):

• Радиус: r = 20 см
• Центр круга:
  • по x: x = a + \frac{a}{2} = 75 + 37.5 = 112.5 \, \text{см}
  • по y: y = l = 20 \, \text{см}

Площадь (отрицательная):
S_4 = -\pi r^2 = -400\pi \approx -1256.64 \, \text{см}^2

Шаг 3: Находим координаты центра тяжести всей фигуры

Полная площадь:

 S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 6375 + 4875 - 400\pi - 400\pi \approx 6375 + 4875 - 2513.28 = 8736.72 \, \text{см}^2 

Координата центра тяжести по x:

 x_c = \frac{S_1 x_1 + S_2 x_2 + S_3 x_3 + S_4 x_4}{S} 

 x_c = \frac{6375 \cdot 37.5 + 4875 \cdot 112.5 - 1256.64 \cdot 20 - 1256.64 \cdot 112.5}{8736.72} 

 x_c = \frac{239062.5 + 548437.5 - 25132.8 - 141372}{8736.72} = \frac{721995.2}{8736.72} \approx 82.65 \, \text{см} 

Координата центра тяжести по y:

 y_c = \frac{S_1 y_1 + S_2 y_2 + S_3 y_3 + S_4 y_4}{S} 

 y_c = \frac{6375 \cdot 42.5 + 4875 \cdot 21.67 - 1256.64 \cdot 50 - 1256.64 \cdot 20}{8736.72} 

 y_c = \frac{270937.5 + 105648.75 - 62832 - 25132.8}{8736.72} = \frac{288621.45}{8736.72} \approx 33.03 \, \text{см} 

Ответ:

Координаты центра тяжести фигуры по условию 7 в системе координат xy:

• x_c \approx 82.65 \, \text{см}
• y_c \approx 33.03 \, \text{см}