Найти кинетическую энергию W, диска

Предмет: Физика
Раздел: Механика, кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия катящегося без скольжения диска состоит из двух частей:

1. Кинетическая энергия поступательного движения:
   W_{\text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2
2. Кинетическая энергия вращательного движения вокруг собственной оси:
   W_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2,
   где I — момент инерции диска относительно его оси, а \omega — угловая скорость.

Для сплошного диска момент инерции относительно центральной оси:
I = \frac{1}{2} m R^2.

При движении без скольжения выполняется связь между линейной и угловой скоростью:
v = \omega R, откуда
\omega = \frac{v}{R}.

Подставляем в формулу вращательной энергии:
W_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^2 \cdot \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{4} m v^2.

Суммарная кинетическая энергия диска:
W = W_{\text{пост}} + W_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2 = \frac{3}{4} m v^2.

Подставляем числовые значения:
W = \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot 4^2 = \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot 16 = \frac{3}{4} \cdot 32 = 24 \text{ Дж}.

Ответ: Кинетическая энергия диска W = 24 Дж.