Найти кинетическую энергию шара T

Предмет: Физика
Раздел: Механика, Динамика вращательного движения

Дано:

• Диаметр шара: d = 0,06 м
• Масса шара: m = 0,25 кг
• Частота вращения: n = 4 об/с

Решение:

Кинетическая энергия катящегося без скольжения шара состоит из поступательной и вращательной энергии:

 T = T_{\text{пост}} + T_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 

1. Определим момент инерции шара

Для однородного шара момент инерции относительно оси, проходящей через его центр, равен:

 I = \frac{2}{5} m R^2 

Радиус шара:

 R = \frac{d}{2} = \frac{0,06}{2} = 0,03 м.

Подставляем:

 I = \frac{2}{5} \cdot 0,25 \cdot (0,03)^2 = \frac{2}{5} \cdot 0,25 \cdot 0,0009 = 0,00009 \text{ кг·м}^2. 

2. Определим угловую скорость \omega

Связь между частотой вращения n и угловой скоростью:

 \omega = 2\pi n 

Подставляем:

 \omega = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25,13 \text{ рад/с}. 

3. Найдем скорость центра масс

При движении без скольжения выполняется связь:

 v = \omega R 

Подставляем:

 v = 25,13 \cdot 0,03 \approx 0,754 \text{ м/с}. 

4. Вычисляем кинетическую энергию

Поступательная энергия:

 T_{\text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,25 \cdot (0,754)^2 

 T_{\text{пост}} \approx \frac{1}{2} \cdot 0,25 \cdot 0,569 = 0,071 \text{ Дж}. 

Вращательная энергия:

 T_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,00009 \cdot (25,13)^2 

 T_{\text{вращ}} \approx \frac{1}{2} \cdot 0,00009 \cdot 631,5 = 0,028 \text{ Дж}. 

Суммарная кинетическая энергия:

 T = T_{\text{пост}} + T_{\text{вращ}} = 0,071 + 0,028 = 0,099 \text{ Дж}. 

Ответ:

Кинетическая энергия шара T \approx 0,099 Дж.