Найти кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара

Определение предмета и раздела:

Предмет: Физика
Раздел: Механика – Динамика вращательного и поступательного движения.

Условие задачи:

Дано:

• Шар катится по горизонтальной поверхности без скольжения.
• Полная кинетическая энергия \(E_{\text{полная}} = 24 \, \text{Дж}\).

Необходимо найти кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.

Разбор задачи:

1. Кинетическая энергия катящегося без скольжения тела состоит из двух компонентов:
   • Кинетическая энергия поступательного движения шара центра масс.
   • Кинетическая энергия вращательного движения шара вокруг его оси.
   Формула для полной кинетической энергии тела:
   \[ E_{\text{полная}} = E_{\text{поступ.}} + E_{\text{вращ.}} \]
2. Для шара, катящегося без скольжения, есть связь между его поступательной скоростью и угловой скоростью вращения. Эта связь обусловлена условием отсутствия скольжения. Чтобы воспользоваться этим, нам понадобится использовать момент инерции шара и основную связь для кинетической энергии.
3. Момент инерции (или второй момент массы) сплошного однородного шара относительно его оси выражается так:
   \[ I = \frac{2}{5} m r^2 \]
   где:
   • \(I\) — момент инерции;
   • \(m\) — масса шара;
   • \(r\) — радиус шара.
4. Поступательная скорость центра масс \(v_{\text{CМ}}\) и угловая скорость вращения \(\omega\) шара связаны условием отсутствия скольжения:
   \[ v_{\text{CМ}} = \omega \cdot r \]
   Это важно для соотношения кинетической энергии поступательного и вращательного движений.
5. Теперь запишем общие выражения для каждой части кинетической энергии.
   • Поступательная кинетическая энергия центра масс \(E_{\text{поступ.}}\):
     \[ E_{\text{поступ.}} = \frac{1}{2} m v_{\text{CМ}}^2 \]
   • Вращательная кинетическая энергия \(E_{\text{вращ.}}\):
     \[ E_{\text{вращ.}} = \frac{1}{2} I \omega^2 \]
6. Подставим момент инерции шара \(I = \frac{2}{5} m r^2\) и воспользуемся тем, что \(v_{\text{CМ}} = \omega \cdot r\) для избавления от \(\omega\) через \(v_{\text{CМ}}\):
   \[ E_{\text{вращ.}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m r^2 \cdot \frac{v_{\text{CМ}}^2}{r^2} = \frac{1}{5} m v_{\text{CМ}}^2 \]
7. Теперь у нас есть два выражения:
   • \(E_{\text{поступ.}} = \frac{1}{2} m v_{\text{CМ}}^2\)
   • \(E_{\text{вращ.}} = \frac{1}{5} m v_{\text{CМ}}^2\)
8. Полная кинетическая энергия — это сумма поступательной и вращательной энергий:
   \[ E_{\text{полная}} = E_{\text{поступ.}} + E_{\text{вращ.}} = \frac{1}{2} m v_{\text{CМ}}^2 + \frac{1}{5} m v_{\text{CМ}}^2 \]
9. Приведём к общему знаменателю:
   \[ E_{\text{полная}} = \frac{5}{10} m v_{\text{CМ}}^2 + \frac{2}{10} m v_{\text{CМ}}^2 = \frac{7}{10} m v_{\text{CМ}}^2 \]
10. Мы знаем, что полная энергия \(E_{\text{полная}} = 24 \, \text{Дж}\), т.е.:
    \[ \frac{7}{10} m v_{\text{CМ}}^2 = 24 \, \text{Дж} \]
11. Найдём \(m v_{\text{CМ}}^2\):
    \[ m v_{\text{CМ}}^2 = \frac{24 \cdot 10}{7} = \frac{240}{7} \approx 34,29 \, \text{Дж} \]
12. Теперь находим поступательную и вращательную энергии:
    • Поступательная кинетическая энергия:
      \[ E_{\text{поступ.}} = \frac{1}{2} m v_{\text{CМ}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 34,29 \approx 17,14 \, \text{Дж} \]
    • Вращательная кинетическая энергия:
      \[ E_{\text{вращ.}} = \frac{1}{5} m v_{\text{CМ}}^2 = \frac{1}{5} \cdot 34,29 \approx 6,86 \, \text{Дж} \]

Ответ:

• Кинетическая энергия поступательного движения \(E_{\text{поступ.}} \approx 17,14 \, \text{Дж}\).
• Кинетическая энергия вращательного движения \(E_{\text{вращ.}} \approx 6,86 \, \text{Дж}\).