Найти кинетическую энергию диска

Определение предмета и раздела:

Предмет: Физика
Раздел: Механика, подраздел Динамика вращательного и поступательного движения, кинетическая энергия.

Теперь приступим к решению задачи.

Дано:

• Масса диска \( m = 2 \, \text{кг}\);
• Радиус диска \( R = 0,5 \, \text{м} \);
• Время движения \( t = 2 \, \text{с}\);
• Пройденный путь \( L = 5 \, \text{м} \).

Найти:

• Кинетическую энергию диска \( E_k \).

1. Формулы и идея:

Кинетическая энергия катящегося без скольжения объекта состоит из двух частей:

• поступательной кинетической энергии \( E_\text{пост} = \frac{1}{2} m v^2 \);
• вращательной кинетической энергии \( E_\text{вр} = \frac{1}{2} I \omega^2 \), где \( I \) — момент инерции тела, а \( \omega \) — угловая скорость.

Для катящегося без скольжения тела связь линейной скорости \( v \) и угловой скорости \( \omega \) выражается как:

\[ v = \omega R \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{v}{R}. \]

Момент инерции для однородного диска относительно его оси вращения равен:

\[ I = \frac{1}{2} m R^2. \]

Суммарная кинетическая энергия:

\[ E_k = E_\text{пост} + E_\text{вр}. \]

Подставив выражения для \( E_\text{пост} \) и \( E_\text{вр} \), получаем:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^2 \cdot \left( \frac{v}{R} \right)^2. \]

Оптимизируем выражение:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2 = \frac{3}{4} m v^2. \]

Таким образом, для нахождения кинетической энергии нужно определить скорость \( v \).

2. Находим скорость \( v \):

Среднюю скорость при равномерном движении можно найти как:

\[ v = \frac{L}{t}, \]

где \( L = 5 \, \text{м} \), \( t = 2 \, \text{с} \).

Подставляем:

\[ v = \frac{5}{2} = 2,5 \, \text{м/с}. \]

3. Подставляем значения в формулу энергии:

Теперь используем формулу:

\[ E_k = \frac{3}{4} m v^2, \]

где \( m = 2 \, \text{кг} \), \( v = 2,5 \, \text{м/с} \).

Подставляем значения:

\[ E_k = \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot (2,5)^2. \]

\[ (2,5)^2 = 6,25, \]

\[ E_k = \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot 6,25 = \frac{3}{4} \cdot 12,5 = 9,375 \, \text{джоуля}. \]

Ответ:

Кинетическая энергия диска равна:
\[ E_k = 9,375 \, \text{Дж}. \]

Рассчитаем: