Найти: длину каждого маятника

Предмет: Физика
Раздел: Механика, колебания (механические колебания, математический маятник)

Условие задачи:

Дано:

• Один маятник совершает 5 колебаний за одно и то же время.
• Второй маятник — 3 колебания за это же время.
• Разность длин маятников: [48\text{ см} = 0{,}48\text{ м}].

Найти: длину каждого маятника.

Теория:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}

где:

• T — период колебаний,
• l — длина маятника,
• g — ускорение свободного падения.

Частота \nu обратно пропорциональна периоду:

\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{g}{l}}

Если за одно и то же время один маятник совершает 5 колебаний, а другой — 3, то их частоты относятся как:

\dfrac{\nu_1}{\nu_2} = \dfrac{5}{3}

Подставим выражение для частоты:

\dfrac{\sqrt{\dfrac{g}{l_1}}}{\sqrt{\dfrac{g}{l_2}}} = \dfrac{5}{3}

Сократим g:

\sqrt{\dfrac{l_2}{l_1}} = \dfrac{5}{3}

Возведем обе части в квадрат:

\dfrac{l_2}{l_1} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}

Получили:

l_2 = \dfrac{25}{9}l_1

Также известно, что разность длин:

l_2 - l_1 = 0{,}48

Подставим выражение l_2:

\dfrac{25}{9}l_1 - l_1 = 0{,}48

Приведем к общему знаменателю:

\left(\dfrac{25}{9} - 1\right)l_1 = 0{,}48

\dfrac{16}{9}l_1 = 0{,}48

Найдем l_1:

l_1 = \dfrac{0{,}48 \cdot 9}{16} = \dfrac{4{,}32}{16} = 0{,}27 \text{ м}

Теперь найдем l_2:

l_2 = l_1 + 0{,}48 = 0{,}27 + 0{,}48 = 0{,}75 \text{ м}

Ответ:

• Длина первого маятника: 0{,}27 \text{ м}
• Длина второго маятника: 0{,}75 \text{ м}