Найти диаметр трубы D, при котором напряжения от изгиба не превысят 115 МПа

Предмет: Механика материалов
Раздел: Прочность материалов (Расчет напряжений в трубах под изгибом)

Дано:

• Диаметр трубы D и толщина стенки t связаны соотношением D = 10 \cdot t
• Изгибающий момент M = 260\,000 \text{ Н} \cdot \text{мм}
• Максимально допустимое напряжение \sigma_{\text{max}} = 115 \text{ МПа} = 115 \text{ Н/мм}^2

Задача: Найти диаметр трубы D, при котором напряжения от изгиба не превысят 115 \text{ МПа}.

Шаг 1. Формула для максимального напряжения при изгибе

Для тонкостенной трубы максимальное напряжение от изгиба определяется по формуле:

 \sigma = \frac{M \cdot c}{I} 

где:

• M — изгибающий момент,
• c — расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленного волокна (для трубы это половина наружного диаметра),
• I — момент инерции поперечного сечения трубы.

Шаг 2. Рассчитаем c и I

• c = \frac{D}{2}
• Момент инерции сечения тонкостенной трубы:

 I = \frac{\pi}{64} (D^4 - d^4) 

где d — внутренний диаметр трубы.

Поскольку d = D - 2t, а D = 10 t, то:

 d = D - 2t = 10 t - 2 t = 8 t 

Подставим в формулу:

 I = \frac{\pi}{64} (D^4 - d^4) = \frac{\pi}{64} \left( (10 t)^4 - (8 t)^4 \right) = \frac{\pi}{64} t^4 (10^4 - 8^4) 

Вычислим числа:

 10^4 = 10\,000, \quad 8^4 = 4096 

Значит:

 I = \frac{\pi}{64} t^4 (10\,000 - 4\,096) = \frac{\pi}{64} t^4 \times 5\,904 

Шаг 3. Запишем формулу напряжения

 \sigma = \frac{M \cdot c}{I} = \frac{M \cdot \frac{D}{2}}{I} = \frac{M \cdot \frac{10 t}{2}}{ \frac{\pi}{64} t^4 \times 5\,904 } = \frac{M \cdot 5 t}{ \frac{\pi}{64} t^4 \times 5\,904 } = \frac{M \cdot 5}{ \frac{\pi}{64} t^3 \times 5\,904 } 

Сократим:

 \sigma = \frac{M \cdot 5 \cdot 64}{\pi \cdot 5\,904 \cdot t^3} = \frac{320 M}{\pi \cdot 5\,904 \cdot t^3} 

Шаг 4. Найдем толщину стенки t

Перепишем уравнение:

 \sigma = \frac{320 M}{\pi \cdot 5\,904 \cdot t^3} \implies t^3 = \frac{320 M}{\pi \cdot 5\,904 \cdot \sigma} 

Подставим значения:

 M = 260\,000 \text{ Н} \cdot \text{мм}, \quad \sigma = 115 \text{ Н/мм}^2 

Тогда:

 t^3 = \frac{320 \times 260\,000}{\pi \times 5\,904 \times 115} = \frac{83\,200\,000}{\pi \times 5\,904 \times 115} 

Вычислим знаменатель:

 \pi \times 5\,904 \times 115 \approx 3.1416 \times 5\,904 \times 115 \approx 3.1416 \times 679\,960 = 2\,135\,286 

Тогда:

 t^3 \approx \frac{83\,200\,000}{2\,135\,286} \approx 38.95 

Найдем t:

 t = \sqrt[3]{38.95} \approx 3.4 \text{ мм} 

Шаг 5. Найдем диаметр трубы D

 D = 10 t = 10 \times 3.4 = 34 \text{ мм} 

Ответ:

Диаметр трубы должен быть примерно 34 мм.

Если округлить до целых, то:

D = 34 \text{ мм}