Найти: 1. Линейную скорость v спутника. 2. Нормальное ускорение a_n. 3. Период обращения T

Предмет: Физика

Раздел: Механика (Раздел, связанный с движением тел под действием гравитации)

Задача рассматривает движение искусственного спутника по орбите вокруг Луны.

Дано:

• Расстояние от поверхности Луны до спутника: \( h = 20 \text{ км} = 20 \times 10^3 \text{ м} \)
• Радиус Луны: \( R_{\text{Л}} = 1 737 \times 10^3 \text{ м} \)
• Гравитационная постоянная: \( G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 \)
• Масса Луны: \( M_{\text{Л}} = 7.35 \times 10^{22} \text{ кг} \)

Найти:

1. Линейную скорость \( v \) спутника.
2. Нормальное ускорение \( a_n \).
3. Период обращения \( T \).

1. Линейная скорость спутника по орбите

Линейная скорость спутника, движущегося по круговой орбите, вычисляется по формуле:

\[ v = \sqrt{\frac{GM_{\text{Л}}}{r_{\text{орб}}}} \]

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( M_{\text{Л}} \) — масса Луны,
• \( r_{\text{орб}} \) — расстояние от центра Луны до спутника (радиус орбиты).

Радиус орбиты \( r_{\text{орб}} = R_{\text{Л}} + h = 1 737 \times 10^3 \text{ м} + 20 \times 10^3 \text{ м} = 1 757 \times 10^3 \text{ м} \). Подставляем значения в уравнение для скорости:

\[ v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1 757 \times 10^3}} \approx \sqrt{\frac{4.906 \times 10^{12}}{1.757 \times 10^6}} \approx \sqrt{2.791 \times 10^6} \approx 1.670 \times 10^3 \text{ м/с} \]

Итак, линейная скорость \( v \approx 1.67 \times 10^3 \text{ м/с} = 1670 \text{ м/с} \).

2. Нормальное ускорение

Нормальное ускорение (центростремительное ускорение) при движении по круговой орбите вычисляется по формуле:

\[ a_n = \frac{v^2}{r_{\text{орб}}} \]

Подставляем значения:

\[ a_n = \frac{(1.67 \times 10^3)^2}{1 757 \times 10^3} \approx \frac{2.79 \times 10^6}{1.757 \times 10^6} \approx 1.59 \text{ м/с}^2 \]

Значит, нормальное ускорение \( a_n \approx 1.59 \text{ м/с}^2 \).

3. Период обращения спутника

Период обращения \( T \) можно найти с помощью зависимости между линейной скоростью, периодом и радиусом орбиты:

\[ T = \frac{2\pi r_{\text{орб}}}{v} \]

Подставляем значения:

\[ T = \frac{2\pi \times 1 757 \times 10^3}{1.67 \times 10^3} \approx \frac{11 \times 10^6}{1.67 \times 10^3} \approx 6590 \text{ с} \]

Зная, что \( 1 \text{ час} = 3600 \text{ с} \), переводим период в часы:

\[ T \approx \frac{6590}{3600} \approx 1.83 \text{ часа} \]

Значит, период обращения составляет около 1.83 часа или приблизительно 6600 секунд.

Ответ:

• Линейная скорость спутника: \( v \approx 1670 \text{ м/с} \).
• Нормальное ускорение: \( a_n \approx 1.59 \text{ м/с}^2 \).
• Период обращения: \( T \approx 1.83 \text{ часа} \) или \( 6600 \text{ с} \).