Найдите момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через середину радиуса и перпендикулярно к нему

Данное задание относится к физике, разделу механика, а именно к теме момент инерции твердых тел.

Постановка задачи:

Однородный шар массой \( m \) и радиусом \( R \) вращается вокруг оси, которая проходит через середину его радиуса и перпендикулярна к шару. Нужно найти момент инерции этого шара относительно указанной оси.

Теория и пояснения:

Момент инерции \( I \) — это величина, определяющая инерционные свойства тела относительно оси вращения. В случае однородного шара масса распределена симметрично относительно центра.

1. Момент инерции шара радиуса \( R \) относительно его центра масс (известная формула): \[ I_{\text{центр}} = \frac{2}{5}mR^2 \]
2. Для оси, проходящей через середину радиуса шара и перпендикулярной к нему, сначала представим ситуацию. Эта ось не проходит через центр шара, а смещена относительно него.
3. Теорема Штейнера помогает вычислить момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс. Теорема Штейнера гласит, что момент инерции относительно оси, смещённой на расстояние \( d \) от центра масс, равен: \[ I = I_{\text{центр}} + md^2 \]
   Здесь \( d \) — это расстояние между центром шара и осью, проходящей через середину радиуса.
4. В данной задаче \( d = \frac{R}{2} \), так как ось расположена на расстоянии половины радиуса от центра сферы.

Подстановка значений:

Теперь подставим известные значения в формулу:
\[ I = I_{\text{центр}} + m \left( \frac{R}{2} \right)^2 \]
Подставляем \( I_{\text{центр}} = \frac{2}{5}mR^2 \) и \( d = \frac{R}{2} \):
\[ I = \frac{2}{5}mR^2 + m\left( \frac{R}{2} \right)^2 \]
\[ I = \frac{2}{5}mR^2 + m\frac{R^2}{4} \]
Для удобства, приведем к общему знаменателю:
\[ I = \frac{2}{5}mR^2 + \frac{1}{4}mR^2 = \frac{8}{20}mR^2 + \frac{5}{20}mR^2 = \frac{13}{20}mR^2 \]

Ответ:

Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через середину радиуса и перпендикулярной к нему, составляет:
\[ I = \frac{13}{20}mR^2 \]

Нам понадобится применить теорему Штейнера и известные физические формулы для момента инерции шара относительно оси, проходящей через его центр масс.