Найдите момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через середину радиуса и перпендикулярно к нему

Данное задание относится к физике, разделу механика, а именно к теме момент инерции твердых тел.

Постановка задачи:

Однородный шар массой $\text{(}m\text{)}$ и радиусом $\text{(}R\text{)}$ вращается вокруг оси, которая проходит через середину его радиуса и перпендикулярна к шару. Нужно найти момент инерции этого шара относительно указанной оси.

Теория и пояснения:

Момент инерции $\text{(}I\text{)}$ — это величина, определяющая инерционные свойства тела относительно оси вращения. В случае однородного шара масса распределена симметрично относительно центра.

1. Момент инерции шара радиуса $\text{(}R\text{)}$ относительно его центра масс (известная формула): $\text{[}{I}_{\text{центр}}=\frac{2}{5}m{R}^2\text{]}$
2. Для оси, проходящей через середину радиуса шара и перпендикулярной к нему, сначала представим ситуацию. Эта ось не проходит через центр шара, а смещена относительно него.
3. Теорема Штейнера помогает вычислить момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс. Теорема Штейнера гласит, что момент инерции относительно оси, смещённой на расстояние $\text{(}d\text{)}$ от центра масс, равен: $\text{[}I=I_{\text{центр}}+m{d}^2\text{]}$
   Здесь $\text{(}d\text{)}$ — это расстояние между центром шара и осью, проходящей через середину радиуса.
4. В данной задаче $\text{(}d=\frac{R}{2}\text{)}$, так как ось расположена на расстоянии половины радиуса от центра сферы.

Подстановка значений:

Теперь подставим известные значения в формулу:
$\text{[}I=I_{\text{центр}}+m{\left(\frac{R}{2}\right)}^2\text{]}$
Подставляем $\text{(}{I}_{\text{центр}}=\frac{2}{5}m{R}^2\text{)}$ и $\text{(}d=\frac{R}{2}\text{)}$:
$\text{[}I=\frac{2}{5}m{R}^2+m{\left(\frac{R}{2}\right)}^2\text{]}$
$\text{[}I=\frac{2}{5}m{R}^2+m\frac{R^2}{4}\text{]}$
Для удобства, приведем к общему знаменателю:
$\text{[}I=\frac{2}{5}m{R}^2+\frac{1}{4}m{R}^2=\frac{8}{20}m{R}^2+\frac{5}{20}m{R}^2=\frac{13}{20}m{R}^2\text{]}$

Ответ:

Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через середину радиуса и перпендикулярной к нему, составляет:
$\text{[}I=\frac{13}{20}m{R}^2\text{]}$

Нам понадобится применить теорему Штейнера и известные физические формулы для момента инерции шара относительно оси, проходящей через его центр масс.