Найдите кинетическую энергию вращающегося (относительно своего центра) шара

Предмет: Физика

Раздел: Механика (Кинетическая энергия вращения)

Для решения задачи используем формулу кинетической энергии вращающегося тела:

K = \frac{1}{2} I \omega^2,

где:

• I — момент инерции шара относительно его центра,
• \omega — угловая скорость вращения.

Шаг 1. Найдем момент инерции шара.

Момент инерции однородного шара относительно его центра вычисляется по формуле:
I = \frac{2}{5} m R^2,

где:

• m — масса шара,
• R — радиус шара.

Масса шара m определяется через плотность и объем:
m = \rho V,
где объем шара V вычисляется как:
V = \frac{4}{3} \pi R^3.

Подставим V в формулу для массы:
m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3.

Теперь подставим m в формулу момента инерции:
I = \frac{2}{5} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^5.

Шаг 2. Найдем угловую скорость \omega.

Угловая скорость связана с частотой вращения:
\omega = 2 \pi f,
где f — частота вращения.

Частота f определяется как число оборотов в секунду:
f = \frac{n}{t},
где:

• n = 9 — число оборотов,
• t = 1 с — время.

Таким образом, f = 9 об/с, а угловая скорость:
\omega = 2 \pi \cdot 9 = 18 \pi рад/с.

Шаг 3. Подставим данные и найдем кинетическую энергию.

Дано:

• \rho = 9.3 г/см³ = 9300 кг/м³,
• R = 3.5 см = 0.035 м,
• \omega = 18 \pi рад/с.

1. Вычислим момент инерции:
   I = \frac{2}{5} \cdot 9300 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot (0.035)^5.

Сначала найдем объем шара:
V = \frac{4}{3} \pi (0.035)^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.1416 \cdot 0.000042875 = 0.000179594 м³.

Масса шара:
m = \rho \cdot V = 9300 \cdot 0.000179594 = 1.6702 кг.

Момент инерции:
I = \frac{2}{5} \cdot 1.6702 \cdot (0.035)^2 = \frac{2}{5} \cdot 1.6702 \cdot 0.001225 = 0.000817 кг·м².

2. Вычислим кинетическую энергию:
   K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.000817 \cdot (18 \pi)^2.

Сначала найдем \omega^2:
\omega^2 = (18 \pi)^2 = 324 \cdot \pi^2 = 324 \cdot 9.8696 = 3198.86.

Теперь подставим:
K = \frac{1}{2} \cdot 0.000817 \cdot 3198.86 = 1.307 Дж.

Ответ:

Кинетическая энергия вращающегося шара равна 1.31 Дж.