Нахождение момента инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, которая лежит на стержне

Предмет: Физика Раздел: Механика (раздел динамики, момент инерции)

Дано:

• Длина стержня $\text{(}l=1\text{м}\text{)}$,
• Масса стержня $\text{(}{M}_{\text{стержня}}=3m=0.3\text{кг}\text{)}$, где $\text{(}m=0.1\text{кг}\text{)}$,
• Масса шарика слева $\text{(}{m}_{\text{лев}}=m=0.1\text{кг}\text{)}$,
• Масса шарика справа $\text{(}{m}_{\text{прав}}=2m=0.2\text{кг}\text{)}$,
• Расстояние от точки $\text{(}O\text{)}$ до шарика слева $\text{(}{R}_{\text{лев}}=\frac{3l}{4}=\frac{3}{4}\text{м}\text{)}$,
• Расстояние от точки $\text{(}O\text{)}$ до шарика справа $\text{(}{R}_{\text{прав}}=\frac{l}{4}=\frac{1}{4}\text{м}\text{)}$.

Теперь можно использовать стандартную формулу для суммы моментов инерции: $\text{[}I=\sum _i{m}_i{r}_i^2\text{]}$

1. Момент инерции левого шарика $\text{(}{I}_{\text{лев}}\text{)}$:

$\text{[}{I}_{\text{лев}}=m_{\text{лев}}\cdot R_{\text{лев}}^2=m\cdot {\left(\frac{3l}{4}\right)}^2=0.1\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=0.1\cdot \frac{9}{16}=0.05625\text{кг}\cdot {\text{м}}^2.\text{]}$

2. Момент инерции правого шарика $\text{(}{I}_{\text{прав}}\text{)}$:

$\text{[}{I}_{\text{прав}}=m_{\text{прав}}\cdot R_{\text{прав}}^2=2m\cdot {\left(\frac{l}{4}\right)}^2=0.2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=0.2\cdot \frac{1}{16}=0.0125\text{кг}\cdot {\text{м}}^2.\text{]}$

3. Момент инерции стержня:

Для тонкого стержня длиной $\text{(}l\text{)}$ с массой $\text{(}{M}_{\text{стержня}}=3m\text{)}$ момент инерции относительно точки $\text{(}O\text{)}$, находящейся посередине стержня, рассчитывается по следующей формуле: $\text{[}{I}_{\text{стержня}}=\frac{M_{\text{стержня}}\cdot l^2}{12}=\frac{3m\cdot l^2}{12}=\frac{3\cdot 0.1\cdot 1^2}{12}=\frac{0.3}{12}=0.025\text{кг}\cdot {\text{м}}^2\text{]}$

Общий момент инерции:

Теперь мы можем сложить все составляющие моментов инерции: $\text{[}{I}_{\text{общий}}=I_{\text{лев}}+I_{\text{прав}}+I_{\text{стержня}}=0.05625+0.0125+0.025=0.09375\text{кг}\cdot {\text{м}}^2.\text{]}$

Ответ:

Момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку $\text{(}O\text{)}$, равен: $\text{[}I=0.09375\text{кг}\cdot {\text{м}}^2.\text{]}$

Задание заключается в нахождении момента инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку $\text{(}O\text{)}$, которая лежит на стержне. Для решения задачи нужно помнить, что момент инерции системы состоит из моментов инерции отдельных её частей. Рассмотрим тонкий стержень и шарики как отдельные объекты.