Нахождение момента инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, которая лежит на стержне

Предмет: Физика Раздел: Механика (раздел динамики, момент инерции)

Дано:

• Длина стержня \( l = 1 \, \text{м} \),
• Масса стержня \( M_{\text{стержня}} = 3m = 0.3 \, \text{кг} \), где \( m = 0.1 \, \text{кг} \),
• Масса шарика слева \( m_{\text{лев}} = m = 0.1 \, \text{кг} \),
• Масса шарика справа \( m_{\text{прав}} = 2m = 0.2 \, \text{кг} \),
• Расстояние от точки \( O \) до шарика слева \( R_{\text{лев}} = \frac{3l}{4} = \frac{3}{4} \, \text{м} \),
• Расстояние от точки \( O \) до шарика справа \( R_{\text{прав}} = \frac{l}{4} = \frac{1}{4} \, \text{м} \).

Теперь можно использовать стандартную формулу для суммы моментов инерции: \[ I = \sum_{i} m_i r_i^2 \]

1. Момент инерции левого шарика \( I_{\text{лев}} \):

\[ I_{\text{лев}} = m_{\text{лев}} \cdot R_{\text{лев}}^2 = m \cdot \left( \frac{3l}{4} \right)^2 = 0.1 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 0.1 \cdot \frac{9}{16} = 0.05625 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]

2. Момент инерции правого шарика \( I_{\text{прав}} \):

\[ I_{\text{прав}} = m_{\text{прав}} \cdot R_{\text{прав}}^2 = 2m \cdot \left( \frac{l}{4} \right)^2 = 0.2 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 0.2 \cdot \frac{1}{16} = 0.0125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]

3. Момент инерции стержня:

Для тонкого стержня длиной \( l \) с массой \( M_{\text{стержня}} = 3m \) момент инерции относительно точки \( O \), находящейся посередине стержня, рассчитывается по следующей формуле: \[ I_{\text{стержня}} = \frac{M_{\text{стержня}} \cdot l^2}{12} = \frac{3m \cdot l^2}{12} = \frac{3 \cdot 0.1 \cdot 1^2}{12} = \frac{0.3}{12} = 0.025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Общий момент инерции:

Теперь мы можем сложить все составляющие моментов инерции: \[ I_{\text{общий}} = I_{\text{лев}} + I_{\text{прав}} + I_{\text{стержня}} = 0.05625 + 0.0125 + 0.025 = 0.09375 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]

Ответ:

Момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку \( O \), равен: \[ I = 0.09375 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]

Задание заключается в нахождении момента инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку \( O \), которая лежит на стержне. Для решения задачи нужно помнить, что момент инерции системы состоит из моментов инерции отдельных её частей. Рассмотрим тонкий стержень и шарики как отдельные объекты.