Механика несжимаемой жидкости

Пример 1:

В сосуде находится 1 л воды при температуре 27^∘С. Чему стало бы равно давление внутри сосуда, если бы силы притяжения между молекулами воды внезапно исчезли? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Исчезновение сил притяжения между молекулами воды означало бы. что воду следовало рассматривать как систему невзаимодействующих частиц, т.е. как идеальный газ. В этом случае давление внутри сосуда можно было бы найти из уравнения состояния газа 

Таким образом, получили оценку величины давления, при котором газ (находящийся при температуре порядка комнатной) заведомо не будет являться идеальным. 

 

Пример 2:

Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где сечения трубы равны S₁ и S₂ (рис.). По трубе течет вода. Найти объем воды, протекающей в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических трубках равна Δh.

Решение от преподавателя:

Решение:

По закону сохранения массы 

Но S1 v2

Поскольку каждая линия тока горизонтальна между 1 и 2, из теоремы Бернулли

Поскольку разность высот водного столба равна Δh, поэтому

Из теоремы Бернулли между точками 1 и 2 линии тока 

Используя (1) в (3), получаем 

Следовательно, искомый объем воды 

Пример 3:

Трубка Пито (рис.) установлена по оси газопровода, площадь внутреннего сечения которого равна S. Пренебрегая вязкостью, найти объем газа, проходящего через сечение трубы в единицу времени, если разность уровней в жидкостном манометре равна Δh, а плотности жидкости и газа — соответственно ρ₀ и ρ. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Применяя теорему Бернулли для точек А и В, 

Газ протекает по трубе, проходящей через нее, но в точке А газ становится неподвижным, так как газ будет двигаться в трубу, в которой уже содержится газ. При применении теоремы Бернулли следует помнить, что

постоянна вдоль линии тока. В данном случае мы действительно применяем теорему Бернулли несколько косвенно. Линия тока в точке A не является линий тока в B. Тем не менее результат правильный. Чтобы убедиться в этом, нам нужно применить теорему Бернулла только к линии тока, проходящей через точку А, сравнив ситуацию в А с тем, что происходит выше B на том же уровне. В устойчивых условиях это согласуется с полученным результатом, потому что не может быть поперечного перепада давления. 

Пример 4:

Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен водой и керосином. Пренебрегая вязкостью, найти скорость вытекающей воды, если толщина слоя воды h₁=30см, а слоя керосина h₂=20см. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку плотность воды больше, чем плотность керосинового масла, она будет собираться на дне. Теперь давление из-за уровня воды равно h₁ρ₁g и давление уровня керосинового масла равно h₂ρ₂g. Таким образом, полное давление становится

h₁ρ₁g+h₂ρ₂g. 

Из теоремы Бернулли эта энергия давления будет преобразована в кинетическую энергию, в слое А. т.е.

Следовательно,

Пример 5:

На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высотой 50 см. Сосуд наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте от дна сосуда следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из него била в поверхность стола на максимальное расстояние lмакс от сосуда. Чему равно lмакс? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть H - общая высота водного столба, а отверстие выполнено на высоте hh снизу. Тогда из теоремы Бернулли

которая направлена горизонтально. Расстояние по горизонтали, l=vt 

 

Пример 6:

Изогнутую трубку опустили в поток воды, как показано на рис. Скорость потока относительно трубки v=2,5м/с. Закрытый верхний конец трубки имеет небольшое отверстие и находится на высоте h₀=12см. На какую высоту h будет подниматься струя воды, вытекающая из отверстия? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть скорость струи воды вблизи отверстия равна v′, применяя теорему Бернулли, 

Здесь значение давления с обеих сторон то же, что и атмосферное давление. Теперь, если он поднимается до высоты hh, то на этой высоте вся его кинетическая энергия будет преобразована в потенциальную энергию. Итак, 

Пример 7:

На горизонтальном дне широкого сосуда с идеальной жидкостью имеется круглое отверстие радиуса R₁, а над ним укреплен круглый закрытый цилиндр радиуса R₂>R₁ (рис.). Зазор между цилиндром и дном сосуда очень мал, плотность жидкости ρ. Найти статическое давление жидкости в зазоре как функцию расстояния r от оси отверстия и цилиндра, если высота жидкости равна h. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Вода течет через небольшой зазор в отверстие. Пусть d - зазор. Тогда из уравнения непрерывности 

где v₁,v₂ и v - соответственно внутренние радиальные скорости жидкости в 1, 2 и 3. По теореме Бернулли непосредственно перед 2 и сразу после 

Применяя ту же теорему к 3 и 1, также находим,

Из уравнений (2) и (3), мы также получаем

Пример 8:

Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной силой на поршень (рис.), выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за время t? Объем воды в цилиндре равен V, площадь сечения отверстия — S, причем S значительно меньше площади поршня. Трение и вязкость пренебрежимо малы. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть сила действующая на поршень F, а длина цилиндра l

Тогда работа равна Fl (1)

Применяя теорму Бернулли для точек А и В, 

где ρ - плотность и v - скорость в точке B. Тогда сила, действуюзая на поршень, 

где A - площадь поперечного сечения поршня. Кроме того, выпуск через отверстие происходит в течение временного промежутка t=Svt, и это равно объему цилиндра, то есть

Из уравнения (1),(2) и (3) проделанная работа 

Пример 9:

Цилиндрический сосуд высоты h и площадью основания S наполнен водой. В дне сосуда открыли отверстие с площадью s≪S. Пренебрегая вязкостью воды, определить, через сколько времени вся вода вытечет из сосуда. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть в любой момент времени уровень воды в сосуде равен H, а скорость потока воды через отверстие, в этот момент будет 

За интервал времени dtdt объем воды, выбрасываемой через отверстие, 

С другой стороны, объем воды в сосуде в момент времени t равен 

Дифференцируя (3) по времени, 

Уравнения, (2) и (4) дает 

Пример 10:

На проволочной рамке с подвижной перекладиной длиной 10 см натянута мыльная пленка. Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пленку на 7 см?

Решение от преподавателя:

Дано: d=10, l=7 см, A−?

Решение задачи:

Чтобы растянуть мыльную пленку, к перекладине нужно приложить некоторую внешнюю силу F. Если перекладина переместится на величину l, то внешняя сила совершит положительную работу, поскольку вектор силы сонаправлен с вектором перемещения. Поскольку площадь мыльной пленки увеличилась, значит внешняя сила, совершив работу, увеличила поверхностную энергию пленки. Поэтому справедлива такая формула:

A=ΔE(1)

Изменение поверхностной энергии ΔE можно найти по формуле:

ΔE=σΔS

Здесь σ – физическая величина, называемая поверхностным натяжением. Её значение для различных веществ приводят в таблице, для мыльного раствора оно равно 40 мН/м. Обратите внимание, что пленка образована двумя поверхностями, поэтому изменение площади поверхности ΔSΔS находят по такой формуле:

ΔS=2dl

В итоге формула (1) примет следующий окончательный вид:

A=2σdl

Переведем значения величин в систему СИ:

40мН/м=0,04Н/м

10см=0,1м

7см=0,07м

Посчитаем численный ответ:

A=2⋅0,04⋅0,1⋅0,07=5,6⋅10–4Дж=0,56мДж

Ответ: 0,56 мДж.

 

Пример 11:

Определить массу воды, поднявшейся по капиллярной трубке диаметром 0,5 мм.

 

Решение от преподавателя:

Дано: d=0,5мм,

m−?

Решение задачи:

На трубку вдоль линии соприкосновения с водой (её длина равна πd) действует сила поверхностного натяжения Fпов. Она направлена вниз. Согласно третьему закону Ньютона на воду со стороны трубки действует такая же по величине сила, но направленная вверх. Эта сила и вызывает подъем воды в трубке. Её модуль равен:

Fпов=σ⋅πd

Поверхностное натяжение воды σ равно 72 мН/м. Понятно, что сила тяжести поднятого столбика воды mgmg равна силе  поверхностного натяжения Fпов.

mg=Fпов

mg=σ⋅πd

Откуда искомая масса m равна:

m=σπdg

Переведем диаметр трубки и поверхностное натяжение в систему СИ:

0,5мм=5⋅10^–4м

72мН/м=0,072Н/м 

Посчитаем численный ответ к задаче:

m=0,072⋅3,14⋅5⋅10^–410=1,13⋅10^–5кг=11,3мг

Ответ: 11,3 мг.

Пример 12:

В капиллярной трубке радиусом 0,5 мм жидкость поднялась на 11 мм. Определить плотность данной жидкости, если её коэффициент поверхностного натяжения 22 мН/м.

 

Решение от преподавателя:

Дано:

r=0,5 мм,

h=11 мм,

σ=22 мН/м,

ρ−?

Решение задачи:

Со стороны жидкости на линию соприкосновения с трубкой, длина которой равна 2πr, действует сила поверхностного натяжения FповFпов, действующая вниз. Она равна:

Fпов=2πr⋅σ

По третьему закону Ньютона на жидкость со стороны трубки действует такая же по величине, но противоположная по направлению сила. Эта сила и вызывает подъем некоторого столбика жидкости. Если принять за mm – массу поднятого столбика, то очевидно, что справедливо равенство:

Fпов=mg(1)

Выразим массу m через плотность ρ и объем V.

m=ρV

V=πr2⋅h

Тогда:

m=ρπr2h

Равенство (1) примет такой вид:

2πr⋅σ=ρπr2hg

2σ=ρrhg 

ρ=2σrhg

Переведем некоторые величины в единицы системы СИ, а далее произведем вычисления.

22мН/м=0,022Н/м

0,5мм=0,5⋅10⁻³м

11мм=11⋅10⁻³м

Ответ: 800 кг/м³.

 

Пример 13:

На какую высоту поднимается вода в капиллярной трубке диаметром 3 мм?

 

Решение от преподавателя:

Дано: d=3 мм, h−?

Решение задачи:

Со стороны воды на линию соприкосновения с трубкой, длина которой равна πd (длина окружности), действует направленная вниз сила поверхностного натяжения. Её модуль которой равен:

Fпов=πd⋅σ

Здесь σ – поверхностное натяжение воды (табличная величина), равная 72 мН/м. Согласно третьему закону Ньютона со стороны трубки на воду действует такая же по величине сила, направленная вверх. Она и вызывает подъем воды в капилляре на такую высоту h, при которой сила тяжести mgmg, действующая на весь поднятый столб воды, равна Fпов.

Fпов=mg(1)

Массу поднятой воды выразим через плотность ρ и объем V. Объем можно найти как произведение площади поперечного сечения, равной πd²/4, на высоту h.

Плотность воды ρρ равна 1000 кг/м³. Равенство (1) примет вид:

Переведем диаметр трубки и поверхностное натяжение в систему СИ: 

Посчитаем ответ:

Ответ: 1 см.

Пример 14:

При лужении оловом с конца проволоки диаметром 1 мм оторвалось 20 капель олова. Насколько укоротилась проволока? Коэффициент поверхностного натяжения олова при 300 °C – 0,52 Н/м.

 

Решение от преподавателя:

Дано:

D=1 мм,

N=20,

σ=0,52 Н/м,

l−?l

Решение задачи:

Из цилиндрической проволоки диаметра D и искомой длины l образовалось N капель диаметром d. Понятно, что объем, на который укоротилась проволока, равна суммарному объему капель:

Vпр=NVк

Распишем объем проволоки Vпр как произведение площади поперечного сечения на длину, а объем одной сферической капли выразим через диаметр капли d

Чтобы определить диаметр капли d, рассмотрим момент отрыва капель от проволоки. В этот момент сила поверхностного натяжения FповFпов равна силе тяжести капли mgmg.

Fпов=mg(2)

Сила поверхностного натяжения Fпов действует вдоль линии соприкосновения капли с проволокой, длина которой равной πD, поэтому её модуль равен:

Fпов=σ⋅πD

Полученное выражение подставим в равенство (2). В этом же равенстве заменим массу капли mm произведением плотности олова ρ на объем капли. Плотность олова – это табличная величина, она равна 7300 кг/м3.

Выразим отсюда

Подставим полученное выражение в формулу (1). В итоге имеем:

Переведем диаметр проволоки в систему СИ, далее произведем расчет ответа.

Ответ: 57 см.