Кинематика векторов

Это задание относится к предмету "Физика", разделу "Кинематика векторов". Давайте решим это задание поэтапно.

1. Определим уравнения движения.

Тело движется по окружности радиусом \( R \) против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью \( \omega \). Центр окружности совпадает с началом декартовой прямоугольной системы координат, и в момент \( t = 0 \) тело находилось в точке с координатами (R, 0).

Положение тела как функции времени: Координаты точки на окружности радиуса \( R \) с центром в начале координат и угловой скоростью \( \omega \) задаются следующими уравнениями:

\[ x = R \cos (\omega t) \] \[ y = R \sin (\omega t) \]

2. Найдём компоненты скорости \( v_x \) и \( v_y \).

Скорость — это первая производная координат по времени:

\[ v_x = \frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t} [R \cos (\omega t)] = -R \omega \sin (\omega t) \] \[ v_y = \frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t} [R \sin (\omega t)] = R \omega \cos (\omega t) \]

3. Найдём компоненты ускорения \( a_x \) и \( a_y \).

Ускорение — это вторая производная координат по времени:

\[ a_x = \frac{d v_x}{d t} = \frac{d}{d t} [-R \omega \sin (\omega t)] = -R \omega^2 \cos (\omega t) \] \[ a_y = \frac{d v_y}{d t} = \frac{d}{d t} [R \omega \cos (\omega t)] = -R \omega^2 \sin (\omega t) \]

4. Найдём модули скорости и ускорения.

Модуль скорости:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-R \omega \sin (\omega t))^2 + (R \omega \cos (\omega t))^2} = R \omega \sqrt{\sin^2 (\omega t) + \cos^2 (\omega t)} \]

Так как \( \sin^2 (\omega t) + \cos^2 (\omega t) = 1 \):

Модуль ускорения:

\[ a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-R \omega^2 \cos (\omega t))^2 + (-R \omega^2 \sin (\omega t))^2} = R \omega^2 \sqrt{\cos^2 (\omega t) + \sin^2 (\omega t)} \]

Так как \( \cos^2 (\omega t) + \sin^2 (\omega t) = 1 \):

5. Докажем, что \( \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \).

У нас есть:

\[ x = R \cos (\omega t) \]

Первая производная \( x \) по времени:

\[ \dot{x} = \frac{d x}{d t} = -R \omega \sin (\omega t) \]

Вторая производная \( x \) по времени:

\[ \ddot{x} = \frac{d \dot{x}}{d t} = -R \omega^2 \cos (\omega t) \]

Подставим \( \ddot{x} \) и \( x \) в уравнение:

\[ \ddot{x} + \omega^2 x = -R \omega^2 \cos (\omega t) + \omega^2 (R \cos (\omega t)) = 0 \]

Таким образом, задача решена. We found the coordinates, velocities, and accelerations as functions of time, as well as the magnitudes of speed and acceleration, and finally proved the given statement.