Кинематика

Пример 1:

Первую половину пути автомобиль двигается со скоростью 60 км/ч, а вторую – со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Средняя скорость на всем пути – это такая скорость, при которой автомобиль прошел бы тот же путь за то же время, но не изменяя ни разу эту скорость. Чтобы её найти, необходимо весь пройденный путь разделить на всё затраченное время.

Так как и на первом, и на втором участке автомобиль двигался равномерно, то справедливо записать такую систему.

Выразим из каждого выражения время.

Подставим эти выражения в формулу средней скорости.

По условию поэтому:

Подставив в эту итоговую формулу исходные данные задачи, мы получим ответ. Переводить значения скоростей в систему СИ не имеет смысла, подставив их без изменений в формулу, мы получим ответ так же в км/ч.

Ответ: 13,3 м/с.

Пример 2:

Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент t = 0 скорость точки равна v₀. Найти:

а) скорость точки в зависимости от времени и от пройденного пути s;

б) полное ускорение точки в функции скорости и пройденного пути. 

Решение от преподавателя:

Решение:

В соответствии с задачей

Интегрируя это уравнение по

Получаем,

интегрируя это уравнение по

Получаем, 

Следовательно, 

Нормальное ускорение точки

И в соответствии с задачей

Так что

 

Пример 3:

Один автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью 12 м/с, в течение 10 с прошел такой же путь, какой второй автомобиль прошел за 15 с. Определить скорость второго автомобиля.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Оба автомобиля прошли одинаковые расстояния.

Они двигались равномерно (хотя про второй это не сказано, но это так) разное время и каждый со своей скоростью, поэтому верно записать:

Значит искомая скорость второго автомобиля υ2 равна:

Теперь считаем ответ.

Ответ: 28,8 км/ч.

Пример 4:

Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте А. Через τ = 60 мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии l = 6,0 км ниже пункта А. Найти скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор катера работал в одном режиме.

Решение от преподавателя:

Пример 5:

За минуту человек делает сто шагов. Определить скорость движения человека, если ширина шага 90 см.

Решение от преподавателя:

Дано:

N=100,

L=90 см,

t=1 мин,

υ−?

Решение задачи:

Скорость человека определяется отношением пройденного пути ко времени, затраченному на этот путь.

Если ширина шага равна L и человек делает N шагов, то он пройдет путь, равный:

Переведем значения величин в систему СИ.

Теперь вычислим ответ.

Ответ: 1,5 м/с.

Пример 6:

Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее скорость зависит от пройденного пути s по закону v=а√s, где a — постоянная. Найти угол α между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от s. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из уравнения 

Поскольку w_t - положительная постоянная, скорость частицы возрастает со временем, а вектор тангенциального ускорения и вектор скорости совпадают по направлению.

Следовательно, угол между  v и w равен, углу между и его можно найти α по формуле: 

Пример 7:

Поезд движется на подъеме со скоростью 10 м/с, а на спуске со скоростью 25 м/с. Определить среднюю скорость поезда на всем пути, если длина спуска в два раза больше длины подъема.

Решение от преподавателя:

Дано:

υ₁=10 м/с,

υ₂=25 м/с,

S₂=2S₁,

υ_ср−?

Решение задачи:

Формула средней скорости применительно к этой задаче будет выглядеть так:

Поезд и на спуске, и на подъеме движется равномерно, но с разной скоростью, поэтому не составит труда найти время подъема t₁ и спуска t₂.

Подставим эти выражения в формулу средней скорости.

Так как по условию

 то:

Численный ответ равен:

Ответ: 60 км/ч.

Пример 8:

Все звезды, в частности и некоторая звезда N, удаляются от Солнца со скоростями, пропорциональными их расстоянию до него. Как будет выглядеть эта картина с "точки зрения" звезды N?

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Автобус третью часть пути шел со скоростью 20 км/ч, половину оставшегося пути со скоростью 30 км/ч, а остальной путь со скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость на всем пути.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Для начала прокомментируем данные задачи. В графе “Дано” мы записали 

Почему это так? Первая часть пути равна трети от всего согласно условию задачи, это сказано явно. Далее написано, что “половину оставшегося пути (он прошел) со скоростью 30 км/ч”, а половина от оставшегося, т.е. половина от и есть Значит и на последнем участке будет пройден такой же путь. Среднюю скорость легко определить по такой формуле:

Время на прохождение любого n-ого отрезка пути равно:

Так как все отрезки равны

то:

Учитывая, что

и написанную выше формулу, имеем:

После всех преобразований мы получили формулу для расчета ответа.

Ответ: 30 км/ч.

Пример 10:

Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону l=asinωt, где l — смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, a и ω — постоянные. Положив R=1,00м, a=0,80м и ω=2,00рад/с, найти:

а) полное ускорение частицы в точках l=0 и ±a;

б) минимальное значение полного ускорения w_min и смещение l_m, ему соответствующее. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из уравнения 

 

(а) В точке

Следовательно, 

Аналогично при 

Пример 11:

Движение грузового автомобиля описывается уравнением x=−270+12tx=−270+12t (м). Когда автомобиль пройдет через начало координат и с какой скоростью?

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Когда грузовик пройдет начало координат, то его координата xx будет равна нулю. Решим простое линейное уравнение, чтобы найти время t.

Чтобы найти скорость тела в этот момент, нужно знать, что первая производная от функции координаты есть функция скорости.

Скорость тела постоянна и равна 43,2 км/ч. Это можно было заметить сразу, т.к. представленное в условии уравнение идентично уравнению движения для прямолинейного равномерного движения. Оно выглядит так:

Значит тело имеет начальную координату

x₀=–270м и скорость υ=12м/с.

Ответ: 22,5 с; 43,2 км/ч.

Пример 12:

Точка прошла половину пути со скоростью V₀. На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью V₁, а последний участок прошла со скоростью V₂. Найти среднюю за все время движения скорость точки.

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Поезд первую половину пути шел со скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Какова скорость поезда на каждом участке, если средняя скорость прохождения всего пути равна 12 м/с?

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

В задаче говорится о двух участках пути, которые поезд проходил с разной скоростью. Среднюю скорость на всем пути следует искать по формуле:

Так как движение на обоих участках было равномерное, то время пути t₁ и t₂ найдем из формул:

Так как по условию

то система примет следующий вид:

Подставим выражения в формулу средней скорости.

Значит:

Теперь сосчитаем ответ.

Ответ: 15 м/с; 10 м/с.

Пример 14:

Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение w_n=a, а нормальное ускорение w_n=bt⁴, где a и b — положительные постоянные, t — время. В момент t=0 точка покоилась. Найти зависимости от пройденного пути s радиуса кривизны R траектории точки и ее полного ускорения w. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку

точка покоится.

Пусть R - радиус кривизны, тогда

Но в соответствии с задачей

Получаем,

Поэтому

 Следовательно, 

Пример 15:

С какой постоянной скоростью должна двигаться нефть в трубопроводе с площадью сечения 100 см², чтобы в течение часа протекло 18 т нефти?

Решение от преподавателя:

За время t нефть займет в трубопроводе объем V, который можно определить по формуле, через скорость перекачки нефти υυ и площадь поперечного сечения S.

Объем V можно определить через массу протекшей нефти m, если знать её плотность ρ. Её табличное значение равно ρ=800 кг/м³.

Приравняем эти два выражения.

Подставим данные задачи в формулу, не забывая их перевести в систему СИ.

Ответ: 62,5 см/с.

Пример 16:

Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями V₁ и V₂. Их радиусы-векторы равны r₁ и r₂. При каком соотношении между этими четыремя векторами частицы испытают столкновения друг с другом?

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Катер прошел первую половину пути со скоростью в 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила 4 км/ч. Какова скорость катера на второй половине пути?

Решение от преподавателя:

Среднюю скорость катера можно сосчитать по формуле:

Движение на обоих участках было равномерным, поэтому найти время t₁ и t₂ не составит труда.

Так как участки равны по величине

и скорость на первой участке больше скорости на втором в два раза

то:

Подставим выражения для времен t₁ и t₂ в формулу средней скорости.

Значит необходимая нам скорость υ₂ определяется по такой формуле.

Численно же ответ равен:

Ответ: 0,83 м/с.

Пример 18:

Частица движется с постоянной по модулю скоростью v по плоской траектории y(x). Найти ускорение частицы в точке x=0 и радиус кривизны траектории в этой точке, если траектория имеет вид:

а) параболы y=ax²;

б) эллипса (x/a)²+(y/b)²=1.

Здесь a и b — постоянные.

Решение от преподавателя:

Решение:

(а) Продифференцируем дважды уравнение траектории y(x) по времени.

Поскольку частица движется равномерно, ее ускорение во всех точках пути нормальное, а в точке x=0 оно совпадает с направлением производной

Имея в виду что в точке

Мы получаем

Отсюда,

(б) Дифференцируя уравнение траектории по времени, получаем, что

где вектор

нормален к вектору скорости

и направлен вдоль касательной.

Таким образом, прежний вектор напрвлен по нормали, а нормальная составляющая ускорения:

Используя,

Дифференцируя (1)

Также из (1)

Таким образом,

(так как тангенциальная скорость постоянна =v) таким образом

Пример 19:

Тело первую половину пути двигалось со скоростью 12 км/ч. После этого половину времени – со скоростью 7 км/ч, а другую половину времени – со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость на всем пути?

Решение от преподавателя:

Если прочитать условие задачи, то становится ясно, что тело прошло три разных участка с разными скоростями. Начнем решать задачу с конца, то есть запишем формулу для определения средней скорости:

Весь путь обозначим буквой S. Так как время t₂ и t₃ равны по условию, то запишем формулу немного проще.

Первый отрезок пути S₁ равен половине полного пути S и проходился телом со скоростью υ₁, поэтому время t₁ определяется по такой простой формуле:

Оставшиеся отрезки пути S₂ и S₃ в сумме также дают половину всего пути S.

Справедливо записать эту формулу таким образом:

Так как t₂=t₃, то:

Подставим полученные выражения для t₁ и 2t₂ в самую первую формулу.

Остается самое простое действие в этой задаче – подсчитать ответ.

Ответ: 2,22 м/с.

Пример 20:

Корабль движется по экватору на восток со скоростью V₀ = 30 км/ч. С юга-востока под углом φ=60⁰ к экватору дует ветер со скоростью V=15 км/ч. Найти скорость V' ветра относительно корабля и угол φ' между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Мотоциклист за первые 5 минут проехал 3 км, за последующие 8 минут – 9,6 км и за последние 6 минут – 5,4 км. Определить среднюю скорость за все время движения.

Решение от преподавателя:

Формула средней скорости применительно к этой задаче выглядит так:

Подставим численные значения величин в эту дробь, предварительно переведя их в систему СИ. Напомним, что в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 километре – 1000 метров.

Ответ: 15,8 м/с.

Пример 22:

Частица А движется по окружности радиуса R=50см так, что ее радиус-вектор r относительно точки О (рис.) поворачивается с постоянной угловой скоростью ω=0,40рад/с. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление вектора ее полного ускорения.

Решение от преподавателя:

Решение:

Зафиксируем координатную систему в точке O, как показано на рисунке, так, чтобы радиус-вектор r точки A в момент показа имел угол θ с осью x.

Заметим, что радиус-вектор частицы A вращается по часовой стрелке, и мы берем в качестве исходной линии линию Ox, поэтому в этом случае, очевидно, угловая скорость

против часовой стрелки - значение углового смещения - положительное.

Также из геометрии треугольника OAC

Запишем,

Так как ω постоянна, то постоянна и v и удовлетворяет условию

Таким образом,

Альтернативный вариант: на рис. угловая скорость точки A относительно центра окружности C становится

Таким образом, мы имеем задачу нахождения скорости и ускорения частицы, движущейся по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью 2ω. 

Пример 23:

Автобус прошел первые 4 км со средней скоростью 20 км/ч, а следующие 0,3 ч он двигался со средней скоростью 40 км/ч. Определить среднюю скорость на всем пути.

Решение от преподавателя:

Формула средней скорости автобуса на всем пути:

Движение на обоих участках пути было равномерным, поэтому:

В формуле средней скорости нам неизвестно S₂, мы его возьмем из второго выражения системы, и t₁, его мы выразим из первого выражения. 

В итоге:

Остается только сосчитать ответ.

Ответ: 8,9 м/с.

 

Пример 24:

Два тела бросили одновременно из одной точки: одно - вертикально вверх, другое - под углом theta = 60⁰ к горизонту. Начальная скорость каждого тела V₀ = 25 м/с. Найти расстояние между телами через t = 1.70 c.

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Какое расстояние пробежит конькобежец за 40 с, если он будет двигаться со скоростью 12 м/с?

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:

Это очень простая задача и она решается в одну строку.

Ответ: 480 м.

Пример 26:

Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол ϕ его поворота зависит от времени как ϕ=at², где a=0,20рад/с². Найти полное ускорение ww точки А на ободе колеса в момент t=2,5с, если линейная скоpость точки А в этот момент v=0,65м/с. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Дифференцирование ϕ(t) по времени

При вращении вокруг неподвижной оси скорость точки A:

Дифференцируя по времени

Но

Пример 27:

Вагон, двигаясь под уклон, проходит 120 м за 10 с. Скатившись с горки, он проходит до остановки еще 360 м за 1,5 мин. Определить среднюю скорость за все время движения.

Решение от преподавателя:

Среднюю скорость вагон на всем пути определим по формуле:

Подставим исходные данные в формулу в единицах СИ и, сосчитав результат, получим ответ. Все должны понимать, что 1,5 минуты – это 90 секунд.

Ответ: 17,3 км/ч.

Пример 28:

Два шарика бросили одновременно из одной точки в горизонтальном направлении в противоположные стороны со скоростями V₁=3.0 м/с и V₂=4.0 м/с. Найти расстояние между шариками в момент, когда их скорости окажутся взаимно перпендикулярными.

Решение от преподавателя:

 

Пример 29:

Двигаясь по шоссе, велосипедист проехал 900 м за 1 мин, а затем по плохой дороге проехал 400 м со скоростью 10 м/с. Определить среднюю скорость велосипедиста на всем пути.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Среднюю скорость всегда можно определить как отношение всего пройденного пути ко времени, затраченному на этот путь. Так как в задаче ведется речь про два участка (шоссе и плохая дорога), то формула определения средней скорости будет выглядеть так:

Из всех величин, фигурирующих в выражении, нам неизвестно время t₂, но его легко определить по формуле:

Подставим ёё в первую формулу и произведем математические преобразования.

Мы получили формулу для расчета численного ответа. Остается только сосчитать его.

Ответ: 46,8 км/ч.

Пример 30:

Снаряд вылетел со скоростью v=320м/с, сделав внутри ствола n=2,0 оборота. Длина ствола l=2,0м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Снаряд движется с постоянным угловым ускорением в время, когда он ускоряется линейно. Эти две величины связаны между собой (оба они являются постоянными) 

Пример 31:

Какое расстояние пройдет поезд за 30 с, если он движется со скоростью 20 м/с?

 

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Уравнение движения поезда, движущегося равномерно и прямолинейно:

S=υt

Все величины, входящие в формулу известны, поэтому остается сделать единственное действие, а именно, сосчитать ответ.

S=20⋅30=600м=0,6км 

Ответ: 0,6 км.

Пример 32:

Точка движется замедляясь по окружности радиуса R=1.2 м так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени скорость точки V₀=0.1 м/с. Найти скорость точки и пройденный путь через t₁=10 с после начала движения.

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Автобус первые 4 км пути проехал за 12 мин, а следующие 12 км – за 18 мин. Определите среднюю скорость автобуса на всем пути.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Средняя скорость вычисляется по формуле:

Подсчитаем её в такой единице измерения, как километры в минуту, для этого будет необходимо подставить S₁ и S₂ в метрах.

Ответ: 533,3 м/мин.

 

Пример 34:

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ϕ=at−bt³, где a=6,0рад/с, b=2,0рад/с³. Найти:

а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t=0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки тела. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Возьмем ось вращения вдоль оси z, положительное направление которой связано с положительным направлением координата ϕ, а угол поворота соответствует правилу правого винта (рис.).

(a) Дифференцируя ϕ(t) по времени. 

Из (1) находим, что твердое тело останавливаться при

Угловая скорость

Таким образом,

Аналогично

Получаем,

Из уравнения. (2)

Получаем,

Пример 35:

Снаряд вылетает из ствола пушки со скоростью 800 м/с. Длина канала ствола 2 м. Определить среднее ускорение.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Сделаем рисунок к задаче, схематично нарисовав пушку и обозначив все необходимые данные. Воспользуемся следующей известной формулой:

Очевидно, что начальная скорость снаряда равна нулю, т.е.

Поэтому формула выше примем вид:

Выразим отсюда искомое среднее ускорение a:

Подставим в эту формулу исходные данные и сосчитаем численный ответ. Видно, что все величины даны в единицах системы СИ.

Ответ: 160 км/с².

Пример 36:

Колесо, имеющее 12 равноотстоящих спиц, во время вращения фотографируют с экспозицией 0.04с. На снимке видно, что за это время каждая спица повернулась на половину угла между соседними спицами. Найти угловую скорость вращения колеса.

Решение от преподавателя:

 

 

Пример 37:

Какой путь пройдет автомобиль в течение 5 с после начала движения, если он двигался с места с ускорением 2 м/с².

Решение от преподавателя:

Простейший рисунок к задаче Вы можете увидеть справа. Запишем формулу пути для равноускоренного движения:

Так как автомобиль трогался с места, то понятно, что его скорость в начале движения равна нулю.

Значит:

Подсчитаем численный ответ, подставив исходные данные в формулу.

Ответ: 25 м.

Пример 38:

Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β=at, где a=2,0⋅10⁻²рад/с³. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол α=60^∘ с ее вектором скорости?

Решение от преподавателя:

Решение:

Где RR - радиус окружности, которую описывает произвольная точка тела. Из данного уравнения 

десь β при положительном при всех значениях t

Интегрируя в пределе 

 

Пример 39:

При равноускоренном движении автомобиля в течение 5 с его скорость изменилась от 10 до 15 м/с. Определить модуль ускорения автомобиля.

 

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Первым делом сделаем рисунок к задаче. Конечно, во многих задачах нет необходимости в рисунке, но опыт говорит, что его наличие позволяет лучше понимать задачу и избегать глупых ошибок в решении. Если движение любого тела является равноускоренным, то его ускорение можно определить по следующей формуле:

Подставим числа в формулу и получим ответ:

Ответ: 1 м/с².

Пример 40:

Диск радиусом 2 м вращается согласно уравнению φ=А+Вt+Сt³, где А=3 рад, В=-1 рад/с, С=0,1 рад/с³. Определить тангенциальное (а_τ), нормальное (а_n) и полное (а) ускорения точек окружности диска для момента времени t=10с.

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Автомобиль начинает двигаться равноускоренно и за 4 с проходит путь 80 м. Определить среднюю скорость за первые 3 с.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Для того чтобы определить среднюю скорость υ_ср за три секунды, нужно пройденный путь S₁ разделить на время t₁.

Но нам неизвестен путь S₁. В условии написано, что “автомобиль начинает двигаться”, поэтому его начальная скорость υ₀ равна нулю.

Так как движение было равноускоренным, то запишем два раза формулу пути для такого движения:

Поделим верхнее выражение на нижнее и выразим неизвестный путь S₁.

Подставим полученное в формулу для нахождения средней скорости.

Сосчитаем ответ:

Ответ: 54 км/ч.

Пример 42:

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота ϕϕ по закону ω=ω₀−aϕ, где ω₀ и a - положительные постоянные. В момент времени t=0 угол ϕ=0. Найти зависимости от времени:

а) угла поворота;

б) угловой скорости. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Интегрируем это уравнение. В пределе для (ϕ)t 

Пример 43:

За 2 с тело изменило скорость от 8 м/с до 24 м/с. С каким ускорением оно двигалось?

Решение от преподавателя:

Сделаем рисунок к задаче. На нем достаточно изобразить ось координат, начало отсчета, точки, где скорость тела равна υ0υ0 и υυ, направление вектора ускорения aa. Так как рассматриваемое движение тела является прямолинейным и равноускоренным, то применим следующую формулу:

Подставим данные задачи и вычислим ответ.

Ответ: 8 м/с².

Пример 44:

Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε=3 рад/с². Определить радиус колеса, если через время t=1 с, после начала движения полное ускорение колеса a=7.5 м/с².

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Велосипедист, имея начальную скорость 2 м/с, спускается с горы с ускорением 0,4 м/с² в течение 8 с. Чему равна скорость велосипедиста в конце пути?

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Сделаем рисунок, на котором введем ось xx вдоль склона горы и обозначим все необходимые величины. Велосипедист, двигаясь под уклон, будет увеличивать свою скорость. Чтобы найти конечную скорость используем следующую формулу (ее называют формулой скорости):

Остается только подставить числа в формулу и сосчитать ответ.

Ответ: 18,72 км/ч.

Пример 46:

Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β =β₀cosϕ, где  β₀ - постоянный вектор, ϕ - угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла ϕ. Изобразить график этой зависимости. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Выберем положительное направление оси z (неподвижная ось вращения) вдоль вектора β₀. В соответствии с уравнением

Пример 47:

Движение тела задано уравнением S=40t−0,2t². Через какое время после начала движения тело остановится?

 

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Тело остановится тогда, когда его мгновенная скорость υυ станет равной нулю. Поскольку в условии задачи дано уравнение пути, то найти скорость не представит трудности, взяв производную. Чтобы это сделать, необходимо знать правила взятия производных. Заметим, что в общем случае скорость является производной координаты

υ=x′,

а не пути, но в данном случае это не имеет разницы.

Теперь решим следующее линейное уравнение.

Ответ: 1,67 мин.

 

Пример 48:

Поезд движется со скоростью 36 км/ч. Если прекратить подачу энергии то поезд, двигаясь равнозамедленно, останавливается через 20 секунд. Найти ускорение поезда и расстояние, на котором надо отключить подачу энергии.

Решение от преподавателя:

Пример 49:

Тело, двигаясь равноускоренно, проходит 80 м за 4 с. Чему равна мгновенная скорость в момент времени 1 с, υ₀=0.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Если тело движется без начальной скорости, т.е. υ₀=0, то пройденный им за время t путь легко найти из формулы:

Найдем из этой формулы ускорение a.

В случае равноускоренного движения скорость определяется из следующего выражения:

 

Как уже было сказано υ₀=0. Так как нам необходимо найти скорость в момент времени t₁, то выражение примет вид:

Подставим сюда полученную нами формулу для ускорения, тогда получим итоговую формулу:

Осталось вычислить ответ, подставив числа в дробь.

Ответ: 36 км/ч.

Пример 50:

Точка А находится на ободе колеса радиуса R=0,50м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью v=1,00м/с

Найти:

а) модуль и направление вектора ускорения точки А;

б) полный путь s, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания поверхности. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Плоское движение твердого тела можно представить как комбинацию смещения центра масс и вращение вокруг центра масс. 

(б) Пусть центр колеса движется вправо (положительная ось x), тогда на жесткой горизонтальной поверхности колесо должно вращаться в направлении по часовой стрелке. Если ωω угловая скорость колеса, то 

Пусть точка A касается горизонтальной поверхности при t=0, далее определим точку A в точке t=t, 

Следовательно, расстояние, на которое покрывается точка A при 

Пример 51:

Поезд начинает равноускоренное движение и через 10 с имеет скорость 8 м/с. Через какое время после начала движения его скорость станет равной 60 м/с?

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Найти скорость в любой момент времени при равноускоренном движении можно с помощью формулы:

Так в условии написано, что “поезд начинает равноускоренное движение”, значит его начальная скорость υ₀ равна нулю. Значит, будем искать скорость из такой формулы:

Тогда запишем следующую систему для моментов времени t и t₁.

Поделим нижнее выражение на верхнее и выразим время t₁ .

Теперь сосчитаем ответ.

Ответ: 1 мин 15 с.

Пример 52:

Камень брошенный горизонтально с начальной скоростью V₀, через 0,5 с. после начала движения имел скорость в 1,5 раза больше начальной скорости. С какой скоростью был брошен камень?

Решение от преподавателя:

Пример 53:

Мотоциклист, подъезжая к уклону, имеет скорость 10 м/с и начинает двигаться с ускорением 0,5 м/с². Какую он приобретет скорость через 20 с?

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

К сожалению, в задаче не сказано куда двигался мотоциклист: вниз по уклону или вверх. Хотя сказано, что он будет двигаться с ускорением, значит, все-таки движение будет вниз. Скорость в любой момент времени при прямолинейном равноускоренном движении всегда можно найти по формуле:

Так как нам известны все величины, входящие в формулу, то нам остается только сосчитать ответ.

Ответ: 72 км/ч.

Пример 54:

Шар радиуса R=10,0см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением w=2,5см/с². Через t=2с после начала движения его положение соответствует рис. Найти:

а) скорости точек А, В и О;

б) ускорения этих точек. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Зафиксируем координатную ось xyz, как показано на рис.

В положении, соответствующем положению на рис., по условию задачи 

(a) Зафиксируем систему координат с системой отсчета, прикрепленной к неподвижной поверхности, как показано на рис. Так как точка O - мгновенный центр вращения шара в момент, показанный на рис. Так что 

Пример 55:

Автобус движется равнозамедленно, проходя при этом до остановки расстояние 310 м. Его начальная скорость 15 м/с. Определить модуль вектора ускорения.

Решение от преподавателя:

Очевидно, что когда поезд остановится, то его скорость υυ будет равна нулю. Воспользуемся следующей известной формулой:

Знак “минус” в правой части показывает, что движение является замедленным. Так как конечная скорость υυ отсутствует, то верхнее выражение примет вид:

Значит, модуль ускорения найдется по формуле:

Ответ: 0,36 м/с².

Пример 56:

Точка движется по прямой линии в одну сторону. На рис. 1 показан график пройденного ею пути S в зависимости от времени t. Найти с помощью этого графика:

а) среднюю скорость точки за время движения;

б) максимальную скорость;

в) момент времени t0 , в который мгновенная скорость равна средней скорости за первые t0 секунд.

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 57:

Вычислить тормозной путь автомобиля, имеющего начальную скорость 60 км/ч, на мокрой дороге, если он тормозит с ускорением 3 м/с².

Решение от преподавателя:

Понятно, что скорость автомобиля в конце тормозного пути равна нулю. υ=0 Применим следующую формулу.

“Минус” в правой части говорит о том, что скорость автомобиля уменьшается. Учитывая все сказанное, в итоге имеем такое выражение:

Осталось только выразить искомый тормозной путь S, подставить численные данные и сосчитать ответ.

Заметим, что начальная скорость υ дана в км/ч.

Перед тем, как подставлять значение υ₀ в формулу, необходимо перевести ее в систему СИ, то есть в м/с. Чтобы перевести скорость из км/ч в м/с необходимо произвести следующие действия.

В итоге:

Ответ: 46,30 м.

Пример 58:

Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра равен r. Найти радиусы кривизны траекторий точек А и В (см. рис.). 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку произвольная точка цилиндра следует кривой, ее нормальное ускорение и радиус кривизны связаны известным уравнением 

Пример 59:

Машинист локомотива, движущегося со скоростью 72 км/ч, начал тормозить на расстоянии 1000 м от станции. Определить, через какое время локомотив остановится, если при торможении его ускорение 0,2 м/с².

Решение от преподавателя:

Самый простой путь решения этой задачи – это воспользоваться формулой скорости при равнозамедленном движении:

Так как спрашивается время t, за которое локомотив остановится, значит, конечная скорость υ состава равна нулю.

υ=0 

Получается, чтобы найти время t необходимо решить линейное уравнение.

Перед тем как подставлять значения величин, переведем начальную скорость υ₀ из км/ч в м/с.

Сосчитаем теперь искомое время.

Странно, но в условии даны лишние данные, например, путь S. Давайте проверим, действительно ли локомотив пройдет до остановки такое расстояние, для этого воспользуемся уравнением пути для равнозамедленного движения:

Поскольку полученное значение совпадает с данным в условии, значит, мы решили задачу верно.

Ответ: 1 мин 40 с.

Пример 60:

Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же — все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v₀ = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v' = 2,5 км/ч?

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 61:

Поезд, имеющий скорость 90 км/ч, стал двигаться с замедлением 0,3 м/с². Найти скорость поезда на расстоянии 1 км от места, где он начал торможение.

Решение от преподавателя:

Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно знать следующую формулу кинематики, в которой не фигурирует время:

Выразим искомую скорость υ:

Переведем начальную скорость υ₀, данную в км/ч, в систему СИ, то есть в м/с.

Теперь вычислим ответ:

Ответ: 18 км/ч.

Пример 62:

Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями ω₁=3,0рад/с и ω₂=4,0рад/с. Найти угловую скорость и угловое ускорение одного тела относительно другого. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Угловая скорость является вектором бесконечно малого вращения. Тогда ясно, что относительная угловая скорость тела 1 относительно тела 2. 

Как и для относительной линейной скорости. Относительное ускорение 1 дифференцируя по времени 2 равно 

Где S′ - система отсчета, вращающийся со вторым телом, а S - фиксированная в пространстве система с началом, совпадающим с точкой пересечения двух осей, но

Пример 63:

Пуля со скоростью 200 м/с ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину 0,1 м. Определить время движения пули внутри вала.

Решение от преподавателя:

После того, как пуля проникнет в вал, на нее станут действовать силы трения, которые замедлят пулю, т.е. пуля в вале будет двигаться равнозамедленно. Найдем величину ускорения aa из следующей формулы:

Понятно, что пуля остановится в валу, поэтому конечная скорость υυ равна нулю.

Воспользуемся формулой скорости при равнозамедленном движении:

Так как υ=0, то время движения пули до остановки равно:

Подставим найденное нами выражение для ускорения a и получим ответ в общем виде.

Сосчитаем численный ответ.

Ответ: 1 мс.

Пример 64:

От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А — вдоль реки, а лодка В — поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок τA/τB, если скорость каждой лодки относительно воды в η=1,2 раза больше скорости течения. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 65:

Пуля со скоростью 400 м/с ударяет в земляной вал и проникает в него. Чему равна скорость пули, когда она пройдет 99% своего пути?

Решение от преподавателя:

Пройдя весь путь S, пуля остановится, т.е. ее скорость υ₁ будет равна нулю. Поэтому верно записать следующую формулу:

Так как υ₁=0, выразим ускорение a.

Но если пуля пройдет путь S₁, равный 0,99S, то у нее будет отличная от нуля скорость υ. Запишем аналогичное выражение:

Искомую скорость найдем из выражения:

Подставим найденную нами формулу для ускорения aa и произведем преобразования:

В итоге ответ равен:

Ответ: 144 км/ч.

Пример 66:

Твердое тело вращается с угловой скоростью

орты осей x и y.

Найти:

а) модули угловой скорости и углового ускорения в момент t=10,0с;

б) угол между векторами угловой скорости и углового ускорения в этот момент. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Дифференцируя уравнение (1) по времени 

Подставляя значения (a) и (б) и принимая t=10с, получим 

Пример 67:

Ружейная пуля движется внутри ствола длиной 60 см в течение 0,004 с. Найти скорость пули при вылете из ствола.

Решение от преподавателя:

Всем понятно, что начальная скорость υ0υ0 пули равна нулю. 

υ₀=0

Запишем две известные из кинематики формулы (первая – формула скорости для равноускоренного движения, вторая – так называемая формула без времени, которая олицетворяет закон сохранения энергии):

Учитывая вышесказанное (υ₀=0 ), формулы примут вид:

Поделим нижнее выражение на верхнее. Таким образом мы сразу получим формулу для расчета ответа.

Сосчитаем численный ответ. Подставляя численные значения величин в формулу, не забывайте переводить их в систему СИ. В данном случае необходимо перевести длину L из см в м.

Ответ: 0,3 км/с.

Пример 68:

Лодка движется относительно воды со скоростью, в n=2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 69:

Самолет при взлете проходит взлетную полосу за 15 с и в момент отрыва от земли имеет скорость 100 м/с. Какова длина взлетной полосы?

Решение от преподавателя:

Во-первых, вспомним формулу скорости для равноускоренного движения:

Во-вторых, применим такую формулу кинематики (она называется формулой без времени):

Так как самолет начинал движения из состояния покоя, то его начальная скорость υ₀, естественно, равна нулю. Поэтому две приведенные формулы примут вид (мы запишем их в системе):

Поделив нижнее выражение на верхнее, выразим оттуда искомую длину взлетной полосы L.

Осталось рассчитать численный ответ, подставив числа из условия.

Ответ: 0,75 км.

Пример 70:

Круглый конус с углом полураствора α=30^∘ оказано на рис. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О, которая находится на одном уровне с точкой С — центром основания конуса. Скорость точки С v=10,0см/с. Найти модули:

а) вектора угловой скорости конуса и угол; который составляет этот вектор с вертикалью; 

) вектора углового ускорения конуса. 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Пусть ось конуса (OC) вращается в направлении против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω′ а сам конус вокруг собственной оси (OC) по часовой стрелке с угловой скоростью ω0 (рис.). Тогда получается угловая скорость конуса. 

(б) Вектор углового ускорения 

Пример 71:

Скорость поезда возросла с 15 до 19 м/с на расстоянии 340 м. С каким ускорением и сколько времени продолжалось движение на этом участке?

Решение от преподавателя:

Запишем формулу скорости для равноускоренного движения и так называемую формулу без времени:

В первой формуле перенесем υ0υ0 в левую сторону, во второй – распишем разность квадратов в левой части.

Теперь поделим нижнее выражение в системе на верхнее.

Отлично, мы нашли выражение для нахождения времени t. Из второго выражения системы легко выразить ускорение a.

Сосчитаем численные значения ускорения aa и времени t.

Ответ: 0,2 м/с2, 20 с.

Пример 72:

Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Они начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью v, причем первая точка все время держит курс на вторую, вторая — на третью, третья — на первую. Через сколько времени точки встретятся?

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 73:

Тело движется равноускоренно из состояния покоя. Во сколько раз путь, пройденный телом за вторую секунду движения, больше пути, пройденного за первую секунду?

Решение от преподавателя:

Путь S₁, пройденный за первую секунду, равен пути за одну секунду t₁.

А вот путь S₂, пройденный за вторую секунду, не равен пути за две секунды. Его можно найти как разность пути за две секунды (t₁+t₂) и пути за одну секунду t₁.

Поделим выражение (2) на выражение (1).

Сосчитаем ответ:

Ответ: 3.

Пример 74:

Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ω₀=0,50рад/с вокруг горизонтальной оси АВ. В момент t=0 ось АВ начали поворачивать вокруг вертикали с постоянным угловым ускорением β₀=0,10рад/с². Найти угловую скорость и угловое ускорение тела через t=3,5с. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Угловая скорость по оси АВ 

И угловое ускорение. 

Пример 75:

Тело, двигаясь с места равноускоренно, проходит за четвертую секунду от начала движения 7 м. Какой путь пройдет тело за первые 10 с?

Решение от преподавателя:

Распишем путь за четвертую секунду как разность пути за t₄=4 секунды и пути за t₃=3 секунды.

Выразим ускорение a.

Учитывая, что тело двигается с места, то есть начальная скорость υ₀ тела равна нулю, поэтому путь S за t=10 секунд легко определить из формулы:

Воспользуемся полученной формулой для ускорения a.

Мы получили ответ к задаче в общем виде. Остается только подсчитать численный ответ.

Ответ: 100 м.

Пример 76:

Точка А движется равномерно со скоростью v так, что вектор v все время «нацелен» на точку В, которая в свою очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью u < v. В начальный момент  v ⊥ u, и расстояние между точками равно l. Через сколько времени точки встретятся? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 77:

Теплоход, двигаясь равноускоренно из состояния покоя с ускорением 0,10 м/с², достигает скорости 18 км/ч. Какой путь он пройдет за это время?

Решение от преподавателя:

Применим следующую формулу:

Так как движение происходило из состояния покоя, то начальная скорость теплохода υ₀ равна нулю.

Вышеприведенная формула примет вид:

Отсюда найдем искомый путь S.

Переведем значение скорости υ из км/ч в м/с.

Остается только сосчитать ответ, для чего подставим в формулу числа.

Ответ: 0,125 км.

Пример 78:

Поезд длины l = 350 м начинает двигаться по прямому пути с ускорением а = 3,0 см/с². Через t = 30 с после начала движения включили прожектор локомотива (событие 1), а через т = 60 с после этого — сигнальную лампу в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояние между точками, в которых произошли эти события, относительно полотна дороги. Как и с какой скоростью должна перемещаться некоторая K-система отсчета, чтобы оба события произошли в ней в одной точке?

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 79:

Тормозной путь автомобиля, двигавшегося со скоростью 30 км/ч, равен 7,2 м. Чему будет равен тормозной путь, если скорость увеличится до 50 км/ч?

Решение от преподавателя:

Вспомним так называемую формулу кинематики без времени, в общем случае она принимает следующий вид:

Здесь υ – конечная скорость, которая в нашей задаче в обоих случаях равна нулю, υ₀ – начальная скорость (υ₁ и υ₂) в нашем случае, a – модуль ускорения, S – тормозной путь. “Минус” в правой части учитывает, что движение является замедленным. Ускорение aa зависит от коэффициента трения поверхности μμ и ускорения свободного падения g, поэтому в обоих случаях будет одним и тем же. Учитывая все вышесказанное, запишем систему для двух случаев, описанных в задаче:

Разделим одно выражение системы на другое и выразим искомое S₂.

Остается вычислить ответ. Заметим, что можно не переводить значения скоростей υ₁ и υ₂ в систему СИ, поскольку в формуле фигурирует их отношение, а оно не меняется при переходе (вы можете сами проверить этот факт).

Ответ: 20 м.

Пример 80:

Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2м/с². Через 2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти:

1) время свободного падения болта;

2) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 81:

Скорость движения автомобиля от времени задана уравнением υ=3+2t. Какой путь пройдет автомобиль за 6 с?

Решение от преподавателя:

Напомним тот факт, что площадь фигуры под графиком изменения скорости численно показывает пройденный путь. Поэтому построим график уравнения, данного в условии. Полученная фигура – трапеция (на рисунке заштрихована), её площадь рассчитывается как полупроизведение суммы оснований на высоту.

Ответ: 54 м.

Пример 82:

Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент t=0 частицы находились на расстояниях l₁ и l₂ от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 83:

По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела. Одно движется равномерно со скоростью 10 м/с, другое – равноускоренно без начальной скорости с ускорением 0,1 м/с². Через какое время второе тело догонит первое?

Решение от преподавателя:

Уравнения движения этих тел описываются следующими зависимостями, запишем их в системе:

Понятно, что когда тела встретятся, их координаты будут равны. Решим следующее уравнение.

Получаем два корня:

Первый соответствует начальному моменту, ведь тела начали движение из одной точки одновременно. А вот второй является ответом к вопросу задачи, рассчитаем численное его значение.

Ответ: 3,33 мин.

Пример 84:

Из пункта A, находящегося на шоссе (рис.), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в η раз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 85:

Скорость движения тела, равная 10 м/с, за 17 с уменьшилась в 5 раз. Определить путь, пройденный телом за это время.

Решение от преподавателя:

Для начала определим модуль ускорения тела по формуле:

Теперь запишем такую формулу кинематики, учитывая, что движение было равнозамедленным (т.е. не забудем знак “минус” в правой части):

Подставим данное нам условие, что скорость уменьшилась в 5 раз , и полученное выражение для ускорения a.

Подставим исходные данные и получим ответ.

Ответ: 102 м.

 

Пример 86:

Точка движется вдоль оси x со скоростью, проекция которой v_x как функция времени описывается графиком (рис.). Имея в виду, что в момент t = 0 координата точки х = 0, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения а_x, координаты x и пройденного пути s.

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 87:

Координата точки меняется со временем по закону x=11+35t+35t³. Определить ускорение точки через 1 с.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Перед нами очень простая задача на знание того факта, что ускорение и скорость тела можно найти через производную (вторую и первую соответственно) функции координаты. Итак, первая производная от функции изменения координаты x(t) есть функция мгновенной скорости тела:

υ(t)=x′(t) 

Используя правила дифференцирования найдем эту производную:

Первая производная от функции мгновенной скорости есть функция мгновенного ускорения тела:

Найдем

Ответ: 210 м/с^2.

Пример 88:

За промежуток времени τ=10,0с точка прошла половину окружности радиуса R=160см. Вычислить за это время:

а) среднюю скорость;

б) модуль среднего вектора скорости;

в) модуль среднего вектора полного ускорения, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 89:

Из точек A и B, расположенных на расстоянии 300 м, навстречу друг другу движутся два тела, уравнения движения которых имеют вид S₁=2t+2,5t², S₂=3t, где все величины выражены в системе СИ. Определить путь, пройденный первым телом до их встречи.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Если тела движутся из двух разных точек A и B, причем навстречу друг другу, то сумма пройденных ими путей за время τ до встречи равна расстоянию между этими точками L, то есть:

Решим это квадратное уравнение для нахождения времени τ, прошедшего до встречи:

Время не может быть отрицательным, поэтому откидываем первый корень. Для того, чтобы найти S₁(τ) подставим найденное время в уравнение движения первого тела.

Ответ: 270 м.

Пример 90:

Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону г = at (1-αt), где а — постоянный вектор, α — положительная постоянная. Найти:
а) скорость v и ускорение w частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени Δt, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s, который она пройдет при этом.

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 91:

Скорость тела меняется по закону v=10+2t. Чему равен путь, пройденный телом за 5 с?

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Решить такую задачу можно разными способами.

Первый способ заключается в том, что мы запишем уравнение движения тела, используя данное нам уравнение скорости, и сосчитаем ответ. Как же это делается? В общем случае уравнение скорости тела для равноускоренного движения выглядит в виде:

υ(t)=υ0+at

Сравнивая это общее уравнение с данным

υ(t)=10+2t видно, что начальная скорость равна

υ₀=10 м/с,

а ускорение равно

a=2 м/с².

Априори считается, что в уравнении все величины даны в системе СИ. Уравнение же движения тела в общем виде записывается как:

Подставим в него извлеченные нами данные:

Осталось сосчитать

Замечу, что подобное решение имеет свои ограничения – при движении скорость не должна менять знака (вектор скорости не должен менять направления).

Второй способ более оригинален и использует тот факт, что площадь фигуры под графиком скорости (и не под каким другим!) за искомое время и есть пройденный путь. Для этого построим график 

v(t)=10+2t  и сосчитаем площадь получившейся фигуры (трапеции).

Ответ: 75 м.

 

Пример 92:

В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону v = v₀ (1 — t/τ), где v₀ — вектор начальной скорости, модуль которого v₀ = 10,0 см/с, τ = 5,0 с. Найти:
а) координату x частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;
б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат;
в) путь s, пройденный частицей за первые 4,0 и 8,0 с; 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 93:

График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела υ₀, время движения t₀. Определить путь, пройденный телом. Рисунок, приведенный в условии задачи.

Решение от преподавателя:

Дано: υ₀, t₀, S−?

Решение задачи:

используем тот факт, что путь, пройденный телом, возможно определить как площадь фигуры под графиком зависимости скорости тела от времени (на рисунке к решению заштриховано).

Так как график имеет вид полуокружности, то и его площадь находится как половина площади круга:

Запишем формулу в такой форме:

Это необходимо для того, чтобы человек, решающий эту задачу не подставил вместо r либо только υ₀, либо только t₀/2, поскольку в таком случае ответ не будет подходить по размерности с размерностью пути. Поэтому, вместо первого rr подставим υ0υ0, а вместо второго – t₀/2 . Только в этом случае мы сможем получить верный ответ:

Пример 94:

Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону v=α√x, где α — положительная постоянная. Имея в виду, что в момент t=0 она находилась в точке x=0, найти:

а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;

б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 95:

Поезд начинает двигаться по прямой, параллельной оси x. Зависимость скорости поезда от времени показана на рисунке (показан справа). За 20 мин поезд прошел 18 км. Найти ускорение поезда в промежутке [0,τ], где τ=10 мин.

Решение от преподавателя:

Дано:

S=18 км,

τ=10 мин,

a−?

Решение задачи:

Начнем решение с конца. Поезд в промежутке [0,τ]движется равноускоренно (это видно по графику), и его ускорение можно найти как тангенс угла наклона графика скорости:

Так как нам известно сколько прошел поезд за все время, то найдем из выражения для пути неизвестную максимальную скорость υ₀. Нам известно, что площадь фигуры под графиком скорости численно равно пройденному пути. Такой фигурой у нас является треугольник, его площадь можно найти как полупроизведение основания на высоту, то есть:

Подставим υ₀ в формулу (1):

Осталось подставить исходные данные в системе СИ, т.е. путь в метрах (м), а время – в секундах (с).

Ответ: 5 см/с².

Пример 96:

Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону w=a√v, где a — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v₀. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 97:

Какова скорость транспортера, если за 5 с он перемещается на 10 м?

 

Решение от преподавателя:

Дано:

t=5 с,

S=10 м,

υ−?

Решение задачи:

Задача транспортера состоит в том, чтобы перемещать какие-то предметы или грузы на расстояния. Должно быть очевидно, что все точки ленты транспортера, а, значит, и находящиеся на ней предметы, движутся равномерно. Тогда скорость транспортера определяется по очень простой формуле:

Ответ: 2 м/с.

Пример 98:

Точка движется в плоскости xy по закону: x = at, y = at(1−αt), где a и α — положительные постоянные, t — время. Найти:

а) уравнение траектории точки y(x); изобразить ее график;

б) скорость v и ускорение w точки в зависимости от времени;

в) момент t₀, в который вектор скорости составляет угол pi/4 с вектором ускорения. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 99:

Расстояние между двумя городами автомашина проехала со скоростью 60 км/ч, а обратный путь – со скоростью, вдвое меньшей. Найти среднее значение модуля скорости автомашины за все время движения.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Итак, в задаче необходимо узнать среднюю скорость, которую можно найти как отношение всего пройденного пути ко времени, затраченному на весь путь. Средняя скорость – эта скорость, которую должно иметь тело (в данном случае автомашина), чтобы пройти то же расстояние за то же время, только двигаясь всегда равномерно (т.е. скорость не должна меняться по величине). Очевидно, что в общем случае машина не двигается равномерно, так как есть моменты ускорения машины (например, в начале движения из состояния покоя) и моменты замедления (перед остановкой), хотя в этой задаче оно было действительно равномерным (но разным по величине при движении туда и обратно). Обозначим расстояние между городами – S, время движения в прямом пути – t₁, время движения в обратном пути – t₂. Тогда:

Найдем время :

Подставим полученные выражения (2) и (3) в (1):

Не будем переводить числовые исходные данные в систему СИ, поскольку ответ нужно получить в км/ч. Численный ответ равен:

Ответ: 40 км/ч.

Пример 100:

Точка движется в плоскости xyxy по закону x=asinωt, y=a(1−cosωt), где a и ω - положительные постоянные. Найти:

а) путь s, проходимый точкой за время τ;

б) угол между векторами скорости и ускорения точки. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 101:

Расход воды в канале за секунду составляет 0,27 м³. Найти скорость воды при ширине канала 1,5 м и глубине воды 0,6 м.

 

Решение от преподавателя:

Дано:

V=0,27 м³, t=1 с,  L=1,5 м,  H=0,6 м,

υ−?

Решение задачи:

Чтобы решить эту задачу посмотрите на рисунок.

За одну секунду вода в канале пройдет расстояние, равное υt. Объем получившегося на рисунке параллелепипеда равен известному нам объему воды V, проходящего через сечение канала за 1 секунду. Значит верно следующее выражение:

Осталось подставить численные данные для получения ответа:

Ответ: 0,3 м/с.

Пример 102:

Частица движется в плоскости xy с постоянным ускорением w, направление которого противоположно положительному направлению оси y. Уравнение траектории частицы имеет вид y=ax–bx², где a и b - положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Модуль скорости частицы в начале координат равен: 

ускорение частицы равно:

Следовательно:

 

Пример 103:

В трубопроводе с площадью поперечного сечения 100 см² в течение часа протекало 18 м³ нефти. Найти скорость нефти.

Решение от преподавателя:

Дано:

S=100 см², t=1 ч, V=18 м³,

υ−?

Решение задачи:

За час работы насоса нефть в трубопроводе пройдет расстояние υtυt и займет объем, равный объему цилиндра Sυt. То есть:

Подставим исходные данные численно, не забыв перевести время t, равное 1 часу, в секунды. Напомним, что в 1 часе содержится 3600 секунд (60 минут по 60 секунд).

Ответ: 0,5 м/с.

Пример 104:

Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) перемещение тела в функции времени r(t);

б) средний вектор скорости ⟨v⟩ за первые t секунд и за все время движения. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку тело находится под действием силы тяжести постоянного ускорения g, векторы скорости и векторы смещений: 

Пример 105:

Тело прошло половину пути со скоростью 6 м/с, а другую половину пути со скоростью 4 м/с. Найти среднюю скорость тела на этом пути.

Решение от преподавателя:

Дано:

υ₁=6 м/с, υ₂=4 м/с,

υср−?

Решение задачи:

Неверно считать, что средняя скорость является среднеарифметической всех скоростей, с которой двигалось тело! Это считается грубейшей ошибкой, которая говорит о том, что человек не понимает сути этого понятия. На самом деле средняя скорость – такая скорость, с которой нужно постоянно двигаться телу (т.е. двигаться равномерно), чтобы пройти то же расстояние за то же время. Её можно найти как отношение всего пройденного пути к затраченному времени. Применительно к нашей задаче, это выражается в формуле:

Так как каждую половину пути тело двигалось равномерно, то время t₁ и t₂ можно найти из выражений:

Подставим полученные формулы в формулу средней скорости и произведем преобразования:

Осталось подставить численные данные.

Ответ: 4,8 м/с.

Пример 106:

Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) время движения;

б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла α они будут равны друг другу;

в) уравнение траектории y(x), где y и x — перемещения тела во вертикали и горизонтали соответственно;

г) радиусы кривизны начала и вершины траектории. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Тело, запущенное со скоростью v0 под углом α к горизонту, падает в точке P на земной поверхности на том же уровне (рис.). Точка проекции принимается за начало координат, поэтому Δx=x и Δy=y

Следовательно, максимальная высота 

Во время движения горизонтальное смещение получаются из уравнения

(в) Для тела, x(t) и y(t) являются

Поэтому, получая значение t из (1) и подставляя в (2), получаем,

Получаем искомое уравнение траектории, т.е. y(x)

(г) Поскольку брошенное тело, следует кривой, оно имеет некоторое нормальное ускорение на всех моменты времени во время его движения.

Пример 107:

Точка движется по прямой в одну сторону. На рисунке показан график зависимости пройденного ею пути S от времени t. Определить среднюю скорость точки за интервал времени 0-5 с.

Решение от преподавателя:

Решение задачи:

Перед нами элементарнейшая задача на понимание графиков зависимостей кинематических величин от времени и понятия средней скорости. Последнюю можно найти как отношение пройденного пути S ко времени t, затраченному на этот путь.

Нам необходимо найти среднюю скорость за промежуток времени от 0 до 5 с. Если взглянуть на график, то видно, что моменту времени, равному 5 секундам, соответствует путь, равный 15 м. Значит:

Ответ: 3 м/с.

Пример 108:

Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Мяч попадает на наклонную плоскость (Ox) в точке O (начало координат) со скоростью

Когда шар упруго отражается, он имеет ту же скоростью v₀ под тем же углом α от нормали к оси y (рис.). Пусть шар ударяет по склону второй раз в точке Р, который находится на расстоянии l от точки 0 вдоль наклонной линии. Из уравнения

Теперь из уравнения

 

Пример 109:

Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Общее время движения 

И горизонтальное смещение 

Из уравнений (1) и (2) 

Пример 110:

Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v₀=250м/с: первый — под углом θ₁=60° к горизонту, второй — под углом θ₂=45° (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 111:

Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна v₀. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости v_x=ay, где a — постоянная, y — высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема:

а) величины сноса шара x(y);

б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 112:

Частица движется в плоскости xyxy со скоростью

где орты осей x и y,a и b - постоянные.

В начальный момент частица находилась в точке x=y=0. Найти:

а) уравнение траектории частицы y(x);

б) радиус кривизны траектории в зависимости от x. 

Решение от преподавателя:

Решение:

(а) Вектор скорости частицы 

Из уравнений (2) и (3), получим, 

(б) Радиус кривизны траектории y(x) равен: 

 

Пример 113:

Частица А движется в одну сторону по некоторой заданной траектории с тангенциальным ускорением

где а — постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью x(рис. ), а τ — единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости в данной точке. Найти зависимость от х скорости частицы, если в точке x=0 ее скорость пренебрежимо мала. 

Решение от преподавателя:

Решение:

В соответствии с задачей:

Пример 114:

Точка движется по окружности со скоростью v=at, где a=0,50м/с². Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n=0,10 длины окружности после начала движения.

Решение от преподавателя:

Решение: