Какая совершается при поднятии клетина поверхность Земли? Каков КПД подъемного устройства?

Предмет: Физика
Раздел: Механика, работа и энергия

Дано:

• Глубина шахты: h = 600 м
• Масса клети: m_к = 3 т = 3000 кг
• Масса 1 м каната: m_0 = 1.5 кг

Найдем работу, совершаемую при поднятии клети

Работа, совершаемая при подъеме клети, равна изменению потенциальной энергии клети:
 A_к = m_к g h 
Подставим значения:
 A_к = 3000 \cdot 9.81 \cdot 600 
 A_к = 17.658 \times 10^6 \text{ Дж} 

Найдем работу, совершаемую при подъеме каната

Канат имеет переменную массу: нижняя часть каната поднимается на всю высоту, а верхняя — на малую высоту. Можно считать, что вся масса каната сосредоточена в его середине, то есть его центр масс поднимается на половину высоты шахты.

Общая масса каната:
 m_{\text{канат}} = m_0 h = 1.5 \times 600 = 900 \text{ кг} 

Центр масс поднимается на высоту h/2 = 300 м, поэтому работа, совершаемая при поднятии каната:
 A_{\text{канат}} = m_{\text{канат}} g \frac{h}{2} 
Подставим значения:
 A_{\text{канат}} = 900 \cdot 9.81 \cdot 300 
 A_{\text{канат}} = 2.647 \times 10^6 \text{ Дж} 

Полная работа:

 A_{\text{полная}} = A_к + A_{\text{канат}} 
 A_{\text{полная}} = 17.658 \times 10^6 + 2.647 \times 10^6 = 20.305 \times 10^6 \text{ Дж} 

Определим КПД подъемного устройства

Если подъемное устройство затрачивает работу A_{\text{затрач}}, а полезная работа — это подъем клети, то КПД определяется как:
 \eta = \frac{A_к}{A_{\text{полная}}} \times 100\% 
Подставим значения:
 \eta = \frac{17.658 \times 10^6}{20.305 \times 10^6} \times 100\% 
 \eta \approx 87\% 

Ответ:

1. Полная работа, совершаемая при подъеме клети: 20.305 \times 10^6 Дж
2. КПД подъемного устройства: 87\%