Какая работа будет совершена силами гравитационного поля припадении на Землю тела массой 2 кг: 1) с высоты 1000 км; 2) из бесконечности?

Предмет: Физика
Раздел: Механика, гравитация

Работа силы гравитационного поля при перемещении тела массой m с высоты h до поверхности Земли определяется как разность потенциальных энергий на начальной и конечной высотах:

 A = E_{\text{п. нач}} - E_{\text{п. кон}} 

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли на расстоянии r от центра Земли выражается формулой:

 E_p = -\frac{GMm}{r} 

где:

• G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2} — гравитационная постоянная,
• M = 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг} — масса Земли,
• m = 2 \, \text{кг} — масса тела,
• R = 6371 \, \text{км} = 6.371 \times 10^6 \, \text{м} — радиус Земли,
• r_1 = R + h — начальное расстояние от центра Земли,
• r_2 = R — конечное расстояние от центра Земли.

1. Работа при падении с высоты 1000 км

Начальная высота:
 r_1 = R + h = 6.371 \times 10^6 + 10^6 = 7.371 \times 10^6 \, \text{м} 

Работа:
 A = -\frac{GMm}{r_1} + \frac{GMm}{r_2} 

Подставляем числовые значения:
 A = \left( \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 2}{6.371 \times 10^6} \right) - \left( \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 2}{7.371 \times 10^6} \right) 

Вычисляем:
 A \approx (1.25 \times 10^8) - (1.08 \times 10^8) = 1.7 \times 10^7 \, \text{Дж} 

2. Работа при падении из бесконечности

При падении из бесконечности начальная потенциальная энергия стремится к нулю (E_{\text{п. нач}} = 0), тогда работа:

 A = 0 - \left(-\frac{GMm}{R} \right) = \frac{GMm}{R} 

Подставляем значения:
 A = \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 2}{6.371 \times 10^6} 

Вычисляем:
 A \approx 1.25 \times 10^8 \, \text{Дж} 

Ответ:

1. Работа при падении с высоты 1000 км: 1.7 \times 10^7 Дж
2. Работа при падении из бесконечности: 1.25 \times 10^8 Дж