Из уравнения движения точки найти амплитуду ускорения

Предмет: Физика

Раздел предмета: Механика (Колебания и волны)

Тема: Гармонические колебания, ускорение колеблющейся точки

Дано уравнение смещения колеблющейся точки:

\[ x(t) = 2 \sin \left( \frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \]

где смещение \(x(t)\) выражено в сантиметрах.

Задание: найти амплитуду ускорения.

Решение

1. Общий вид уравнения колебаний
   Уравнение гармонических колебаний можно записать в общем виде:

   \[ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0) \]

   где:
   • \(A\) — амплитуда смещения (в см);
   • \(\omega\) — круговая частота (в рад/с);
   • \(\varphi_0\) — начальная фаза (в рад);
   • \(t\) — время (в с).
2. Сравнение с данным уравнением
   Из уравнения \(x(t) = 2 \sin \left( \frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{4} \right)\) видно, что:
   • \(A\) (амплитуда смещения) = 2 см;
   • \(\omega = \frac{\pi}{2}\) рад/с (круговая частота);
   • \(\varphi_0 = \frac{\pi}{4}\) рад (начальная фаза).
3. Нахождение ускорения
   Ускорение \(a(t)\) точки, совершающей гармонические колебания, можно найти как вторую производную смещения \(x(t)\) по времени:

   \[ a(t) = \frac{d^2 x(t)}{dt^2} \]

   Уравнение смещения:

   \[ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0) \]

   Первая производная \(x(t)\) по времени (скорость):

   \[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \varphi_0) \]

   Вторая производная \(v(t)\) по времени (ускорение):

   \[ a(t) = \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi_0) \]

   Из данного уравнения видно, что амплитуда ускорения \(a_{\text{max}}\) (максимальное значение ускорения) равна:

   \[ a_{\text{max}} = A \omega^2 \]

4. Вычисление амплитуды ускорения
   Мы уже знаем, что:

   \[ A = 2 \, \text{см}, \ \omega = \frac{\pi}{2} \, \text{рад/с} \]

   Теперь подставим эти значения в формулу для амплитуды ускорения:

   \[ a_{\text{max}} = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \]

   Вычислим:

   \[ a_{\text{max}} = 2 \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} \]

   Подставим значение \(\pi \approx 3.1416\):

   \[ a_{\text{max}} = \frac{(3.1416)^2}{2} \approx \frac{9.8696}{2} = 4.9348 \, \text{см/с}^2 \]

Ответ:

Амплитуда ускорения \(a_{\text{max}}\) равна примерно 4.93 см/с².