Из уравнения движения точки х = sin(пи t/6) определить в какое ближайшее время достигается амплитудное значения ускорения

Предмет: Физика

Раздел предмета: Механика (Кинематика, уравнение движения)

Шаг 1: Общее уравнение движения точки

Дано уравнение движения точки:

\[ x(t) = \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \]

По этому уравнению мы можем найти:

1. Скорость \( v(t) \)
2. Ускорение \( a(t) \)

Шаг 2: Найдем скорость

Скорость \( v(t) \) — это производная координаты \( x(t) \) по времени \( t \). Найдем производную функции синуса:

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \right). \]

Используя цепное правило, получаем:

\[ v(t) = \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \cdot \frac{\pi}{6}. \]

Итак, уравнение скорости:

\[ v(t) = \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right). \]

Шаг 3: Найдем ускорение

Теперь найдём ускорение \( a(t) \) — это производная скорости по времени:

\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \right). \]

Применяем цепное правило для производной косинуса, получаем:

\[ a(t) = \frac{\pi}{6} \cdot \left( -\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \right) \cdot \frac{\pi}{6}. \]

Упростим выражение:

\[ a(t) = -\frac{\pi^2}{36} \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right). \]

Шаг 4: Определение амплитудного значения ускорения

Амплитудное значение ускорения — это максимальное значение модуля ускорения. Так как ускорение описано синусоидальной функцией:

\[ a(t) = -\frac{\pi^2}{36} \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right), \]

его максимальное значение будет равно амплитуде этой функции:

\[ a_{\text{max}} = \frac{\pi^2}{36}. \]

Синус достигает своих экстремальных значений, равных \( \pm 1 \), при времени:

\[ \frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi t}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \]

Рассмотрим первое решение:

\[ \frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{6}{2} = 3 \, \text{секунды}. \]

Это — ближайшее время, когда синус принимает значение 1, и ускорение достигает своего максимального значения. Ускорение будет минимальным при \( t = 9 \, \text{секунд}, \) когда синус будет равен \( -1 \).

Ответ:

Амплитудное значение ускорения достигается в ближайшее время \( t = 3 \, \text{секунды}. \)