Динамика движения тел по наклонной плоскости

Это задание по физике, в разделе механики. Мы рассмотрим движение тела по наклонной плоскости, учитывая силы трения и другие действующие силы.

Дано:

• Длина наклонной плоскости $\text{(}l\text{)}$
• Угол наклона наклонной плоскости $\text{(}\alpha \text{)}$
• Ускорение плоскости $\text{(}{a}_0\text{)}$
• Коэффициент трения $\text{(}\mu \text{)}$

Нужно найти время $\text{(}\tau \text{)}$, за которое тело соскользнет с наклонной плоскости.

Рассмотрим силы, действующие на тело:

1. Сила тяжести $\text{(}mg\text{)}$
2. Сила реакции опоры $\text{(}N\text{)}$
3. Сила трения $\text{(}{F}_{тр}\text{)}$

Сила тяжести разделяется на две составляющие:

• $\text{(}mg\sin (\alpha )\text{)}$ - компонента вдоль наклонной плоскости
• $\text{(}mg\cos (\alpha )\text{)}$ - нормальная компонента

Сила трения равна: $\text{(}{F}_{тр}=\mu N=\mu mg\cos (\alpha )\text{)}$

Тело движется по наклонной плоскости, и на него действует ускорение. Ускорение относительно наклонной плоскости:

$\text{[}a=g\sin (\alpha )-\mu g\cos (\alpha )\text{]}$

Так как плоскость движется с ускорением $\text{(}{a}_0\text{)}$, то из-за инерции будет дополнительное сила действующая на тело:

$\text{[}{F}_{инерц}=m{a}_0\cos (\alpha )\text{]}$

Добавляя проекции всей системы, получаем эффективное ускорение относительно наклонной плоскости:

$\text{[}{a}_{eff}=g\sin (\alpha )-\mu g\cos (\alpha )-a_0\cos (\alpha )\text{]}$

Теперь, зная ускорение, мы можем найти время $\text{(}\tau \text{)}$, за которое тело пройдет длину наклонной плоскости $\text{(}l\text{)}$:

$\text{[}l=\frac{1}{2}{a}_{eff}{\tau }^2\text{]}$

Отсюда $\text{(}\tau \text{)}$ выражается как:

$\text{[}\tau =\sqrt{\frac{2l}{a_{eff}}}\text{]}$

Подставляем значения $\text{(}{a}_{eff}\text{)}$:

$\text{[}\tau =\sqrt{\frac{2l}{g\sin (\alpha )-\mu g\cos (\alpha )-a_0\cos (\alpha )}}\text{]}$

Вывод: Это и есть искомое время $\text{(}\tau \text{)}$, за которое тело соскользнет с наклонной плоскости.