Найти высоту этого прямоугольника

Предмет: Механика материалов
Раздел: Сопротивление материалов, изгиб

Задача:
Дано круглое бревно радиусом r = 250 \text{ мм}. Нужно обтесать из него прямоугольный брусок с максимальной прочностью при изгибе по нормальным напряжениям. Нужно найти высоту этого прямоугольника.

Анализ задачи

Прочность бруска при изгибе определяется максимальным нормальным напряжением \sigma_{\max}, которое возникает на поверхности с наибольшим расстоянием от нейтральной оси. Для прямоугольного сечения:

 \sigma_{\max} = \frac{M y_{\max}}{I} 

где:

• M — изгибающий момент,
• y_{\max} — расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной волокна (половина высоты сечения),
• I — момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Шаг 1: Обозначения

Пусть высота прямоугольного сечения — h, ширина — b.

Так как брусок вырезается из круга радиуса r, то:

 \frac{h}{2} \leq r, \quad \frac{b}{2} \leq \sqrt{r^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2} 

Потому что сечение должно помещаться в круг.

Шаг 2: Момент инерции прямоугольника

Момент инерции относительно нейтральной оси (горизонтальной оси, проходящей через центр):

 I = \frac{b h^3}{12} 

Шаг 3: Максимальное напряжение при изгибе

Максимальное расстояние от нейтральной оси:

 y_{\max} = \frac{h}{2} 

Тогда максимальное напряжение:

 \sigma_{\max} = \frac{M \frac{h}{2}}{\frac{b h^3}{12}} = \frac{6M}{b h^2} 

Шаг 4: Оптимизация прочности

Прочность максимальна, когда \sigma_{\max} минимально. Для заданного момента M минимизируем выражение:

 \sigma_{\max} \propto \frac{1}{b h^2} 

Поэтому нужно максимизировать b h^2 при условии, что сечение помещается в круг радиуса r.

Шаг 5: Связь между b и h

Из круга:

 \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = r^2 

Отсюда:

 b = 2 \sqrt{r^2 - \frac{h^2}{4}} 

Шаг 6: Функция для максимизации

Нужно максимизировать:

 f(h) = b h^2 = 2 h^2 \sqrt{r^2 - \frac{h^2}{4}} 

Шаг 7: Поиск максимума

Введем переменную:

 x = h^2 

Тогда:

 f(x) = 2 x \sqrt{r^2 - \frac{x}{4}} = 2 x (r^2 - \frac{x}{4})^{1/2} 

Найдем производную по x:

 f'(x) = 2 \sqrt{r^2 - \frac{x}{4}} + 2 x \cdot \frac{1}{2} (r^2 - \frac{x}{4})^{-1/2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 2 \sqrt{r^2 - \frac{x}{4}} - \frac{x}{4 \sqrt{r^2 - \frac{x}{4}}} 

Приравняем к нулю:

 2 \sqrt{r^2 - \frac{x}{4}} = \frac{x}{4 \sqrt{r^2 - \frac{x}{4}}} 

Умножим обе части на  \sqrt{r^2 - \frac{x}{4}} :

 2 \left(r^2 - \frac{x}{4}\right) = \frac{x}{4} 

Раскроем скобки:

 2 r^2 - \frac{2x}{4} = \frac{x}{4} 

 2 r^2 - \frac{x}{2} = \frac{x}{4} 

Перенесем все в одну сторону:

 2 r^2 = \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{3x}{4} 

Отсюда:

 x = \frac{8 r^2}{3} 

Шаг 8: Найдем h

 h = \sqrt{x} = \sqrt{\frac{8 r^2}{3}} = r \sqrt{\frac{8}{3}} = r \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{3} 

Подставим r = 250 \text{ мм}:

 h = 250 \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{3} \approx 250 \cdot \frac{2 \cdot 2.449}{3} = 250 \cdot \frac{4.898}{3} \approx 250 \cdot 1.6327 = 408.2 \text{ мм} 

Ответ:

Высота прямоугольного бруска:

 h \approx 408 \text{ мм} 

Итог: Чтобы получить брусок с максимальной прочностью при изгибе из круглого бревна радиусом 250 мм, высота прямоугольного поперечного сечения должна быть примерно 408 \text{ мм}.