Определить удлинение стержня от действия собственного веса

Предмет: Механика деформируемого твердого тела
Раздел: Теория упругости, расчет удлинения стержня под собственным весом

Дано:

• Длина стержня  L = 4 \text{ м} 
• Сторона квадрата поперечного сечения  a = 50 \text{ мм} = 0.05 \text{ м} 
• Модуль Юнга  E = 10\,000 \text{ МПа} = 10^{10} \text{ Па} 
• Ускорение свободного падения  g = 9.81 \text{ м/с}^2 
• Плотность материала  \rho = 520 \text{ кг/м}^3 

Задача:

Определить удлинение стержня от действия собственного веса.

Решение:

1. Определим площадь поперечного сечения:

 A = a^2 = (0.05)^2 = 0.0025 \text{ м}^2 

2. Определим вес стержня:

Масса стержня:

 m = \rho \cdot V = \rho \cdot A \cdot L = 520 \times 0.0025 \times 4 = 5.2 \text{ кг} 

Вес стержня:

 P = m \cdot g = 5.2 \times 9.81 = 50.9 \text{ Н} 

3. Удлинение стержня под собственным весом

При собственном весе нагрузка распределена по длине стержня, и напряжение растяжения в любой точке стержня зависит от веса части стержня, расположенной ниже этой точки.

Для удлинения стержня под собственным весом формула (из теории упругости) следующая:

 \Delta L = \frac{\rho g L^2}{2 E} \cdot \frac{L}{A} \quad \text{(с учетом распределенного веса)} 

Однако чаще формулу записывают так:

Удельное напряжение в сечении на расстоянии  x  от закрепленного конца:

 \sigma(x) = \rho g (L - x) 

Полное удлинение:

 \Delta L = \int_0^L \frac{\sigma(x)}{E} dx = \int_0^L \frac{\rho g (L - x)}{E} dx = \frac{\rho g}{E} \int_0^L (L - x) dx 

Вычислим интеграл:

 \int_0^L (L - x) dx = [Lx - \frac{x^2}{2}]_0^L = L \cdot L - \frac{L^2}{2} = \frac{L^2}{2} 

Итого:

 \Delta L = \frac{\rho g}{E} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{\rho g L^2}{2 E} 

Но надо учесть деление на площадь, поскольку напряжение — это сила на площадь:

 \sigma = \frac{F}{A} \Rightarrow F = \sigma \cdot A 

Тогда удлинение:

 \Delta L = \int_0^L \frac{F(x)}{E A} dx = \int_0^L \frac{\rho g A (L - x)}{E A} dx = \frac{\rho g}{E} \int_0^L (L - x) dx = \frac{\rho g L^2}{2 E} 

Вывод: площадь сечения  A  в формуле не участвует, так как сила пропорциональна площади, а напряжение рассчитывается с делением на площадь.

Подставим численные значения:

 \Delta L = \frac{520 \times 9.81 \times 4^2}{2 \times 10^{10}} = \frac{520 \times 9.81 \times 16}{2 \times 10^{10}} 

Считаем числитель:

 520 \times 9.81 \times 16 = 520 \times 156.96 = 81619.2 

Теперь удлинение:

 \Delta L = \frac{81619.2}{2 \times 10^{10}} = \frac{81619.2}{2 \times 10^{10}} = 4.08096 \times 10^{-6} \text{ м} = 4.08 \text{ мкм} 

Ответ:

Удлинение стержня от собственного веса составляет примерно

 \boxed{4.08 \text{ мкм}} .

Если нужна дополнительная помощь или пояснения, обращайтесь!