Найти диаметр круглой балки d , при котором напряжение от изгибающего момента не превысит

Предмет: Механика материалов
Раздел: Прочность материалов, расчет на изгиб

Дано:

• Изгибающий момент  M = 500\,000 \, \text{Н} \cdot \text{мм} 
• Максимально допустимое напряжение  \sigma_{\text{max}} = 180 \, \text{МПа} = 180 \, \text{Н/мм}^2 

Требуется найти диаметр круглой балки  d , при котором напряжение от изгибающего момента не превысит  \sigma_{\text{max}} .

Шаг 1: Формула для напряжения при изгибе

Максимальное нормальное напряжение при изгибе в круглой балке определяется по формуле:
 \sigma = \frac{M \cdot c}{I} 
где:

•  M  — изгибающий момент,
•  c  — расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленного волокна (для круглого сечения это радиус  r = \frac{d}{2} ),
•  I  — момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Шаг 2: Момент инерции круглого сечения

Для круглого сечения:
 I = \frac{\pi d^4}{64} 

Шаг 3: Подставляем  c = \frac{d}{2}  и  I  в формулу напряжения

 \sigma = \frac{M \cdot \frac{d}{2}}{\frac{\pi d^4}{64}} = \frac{M \cdot \frac{d}{2} \cdot 64}{\pi d^4} = \frac{32 M}{\pi d^3} 

Шаг 4: Выразим диаметр  d  из условия, что напряжение не превышает максимально допустимое:

 \sigma \leq \sigma_{\text{max}} \Rightarrow \frac{32 M}{\pi d^3} \leq \sigma_{\text{max}} 

Отсюда:

 d^3 \geq \frac{32 M}{\pi \sigma_{\text{max}}} 

 d \geq \sqrt[3]{\frac{32 M}{\pi \sigma_{\text{max}}}} 

Шаг 5: Подставим числовые значения:

 d \geq \sqrt[3]{\frac{32 \times 500\,000}{\pi \times 180}} 

Считаем числитель:
 32 \times 500\,000 = 16\,000\,000 

Считаем знаменатель:
 \pi \times 180 \approx 3.1416 \times 180 = 565.49 

Делим:
 \frac{16\,000\,000}{565.49} \approx 28\,293.5 

Теперь извлекаем кубический корень:
 d \geq \sqrt[3]{28\,293.5} 

Приблизительно:
 \sqrt[3]{28\,293.5} \approx 30.4 \, \text{мм} 

Ответ:

Минимальный диаметр балки должен быть не меньше  31 \, \text{мм}  (округляем в большую сторону).

Итог:
 \boxed{d = 31 \, \text{мм}}