Построить векторную диаграмму сложения амплитуд и написать уравнение результирующего гармонического колебания

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания и волны

Задание:

Построить векторную диаграмму сложения амплитуд и написать уравнение результирующего гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: \( x_1 = 4 \sin(\pi t) \), см, и \( x_2 = 3 \sin(\pi t + \frac{\pi}{2}) \), см.

Шаг 1: Анализ уравнений колебаний

Заданы два гармонических колебания:

1. \( x_1(t) = 4 \sin(\pi t) \) — амплитуда \( A_1 = 4 \), угловая частота \( \omega = \pi \), начальная фаза \( \varphi_1 = 0 \).
2. \( x_2(t) = 3 \sin(\pi t + \frac{\pi}{2}) \) — амплитуда \( A_2 = 3 \), угловая частота \( \omega = \pi \), начальная фаза \( \varphi_2 = \frac{\pi}{2} \).

Оба колебания имеют одинаковую угловую частоту \( \omega = \pi \), поэтому их можно сложить.

Шаг 2: Представление колебаний в виде векторов (фазоров)

Для сложения колебаний удобно использовать векторный (фазорный) метод. Первое колебание можно представить как вектор длины \( A_1 = 4 \), направленный вдоль оси \( x \) (начальная фаза \( \varphi_1 = 0 \)). Второе колебание имеет начальную фазу \( \varphi_2 = \frac{\pi}{2} \), поэтому его вектор длины \( A_2 = 3 \) направлен вдоль оси \( y \) (перпендикулярно оси \( x \), так как фазовый сдвиг составляет \( 90^\circ \)).

Шаг 3: Построение векторной диаграммы

1. Нарисуем вектор \( A_1 = 4 \), направленный вдоль оси \( x \).
2. Нарисуем вектор \( A_2 = 3 \), направленный вдоль оси \( y \).
3. Эти два вектора образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это результирующая амплитуда \( A_{\text{рез}} \) сложенного колебания, а углы — это фазовые сдвиги.

Шаг 4: Определение результирующей амплитуды

Чтобы найти результирующую амплитуду \( A_{\text{рез}} \), воспользуемся теоремой Пифагора, поскольку векторы перпендикулярны друг другу:

\[ A_{\text{рез}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. \]

Шаг 5: Определение результирующей фазы

Чтобы найти результирующую фазу \( \varphi_{\text{рез}} \), используем тригонометрическую функцию арктангенс. Фаза определяется как угол между результирующим вектором и осью \( x \):

\[ \varphi_{\text{рез}} = \arctan\left(\frac{A_2}{A_1}\right) = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 0.6435 \, \text{рад}. \]

Шаг 6: Запись уравнения результирующего колебания

Теперь мы можем записать уравнение результирующего колебания с амплитудой \( A_{\text{рез}} = 5 \) и фазой \( \varphi_{\text{рез}} \approx 0.6435 \, \text{рад} \):

\[ x_{\text{рез}}(t) = 5 \sin\left(\pi t + 0.6435\right), \, \text{см}. \]

Ответ:

Векторная диаграмма: На векторной диаграмме длина первого вектора равна 4 (вдоль оси \( x \)), а длина второго вектора равна 3 (вдоль оси \( y \)). Эти векторы образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 5.

Уравнение результирующего колебания:

\[ x_{\text{рез}}(t) = 5 \sin\left(\pi t + 0.6435 \right), \, \text{см}. \]