Определите для результирующего колебания 1 амплитуду 2 начальную фазу

Предмет: Физика
Раздел: колебания и волны

Даны два гармонических колебания одного направления:
x_1 = 4 \cos(2\pi t)
x_2 = 4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{4})

1. Определение амплитуды результирующего колебания

Рассмотрим колебания в комплексной форме:
x_1 = 4 e^{i 2\pi t}
x_2 = 4 e^{i (2\pi t + \frac{\pi}{4})}

Сложим их, представив векторную диаграмму. Векторы имеют одинаковую длину 4, но один из них повернут на угол \frac{\pi}{4}.

Используем метод сложения векторов. Проекции на оси:

• По оси X:
  A_x = 4 + 4 \cos \frac{\pi}{4} = 4 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 + 2\sqrt{2}
• По оси Y:
  A_y = 4 \sin \frac{\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}

Амплитуда результирующего колебания:
A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}

Подставим значения:
A = \sqrt{(4 + 2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2}

Раскроем скобки:
A = \sqrt{16 + 16\sqrt{2} + 8 + 8} = \sqrt{32 + 16\sqrt{2}}

Приблизительное значение:
A \approx 5.3 см

2. Определение начальной фазы

Начальная фаза \varphi определяется как:
\varphi = \arctan \frac{A_y}{A_x}

Подставим значения:
\varphi = \arctan \frac{2\sqrt{2}}{4 + 2\sqrt{2}}

Приблизительно:
\varphi \approx 0.32 радиан

3. Уравнение результирующего колебания

x = A \cos(2\pi t + \varphi)

Подставляем найденные значения:
x = 5.3 \cos(2\pi t + 0.32)

4. Векторная диаграмма

На векторной диаграмме изображены два вектора амплитуд 4, один из которых повернут на угол \frac{\pi}{4}. Их сумма дает результирующий вектор с амплитудой 5.3 и углом 0.32 радиан относительно оси x_1.