Определить уравнение гармонических колебаний на основании графика зависимости координаты x(t) от времени

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания и волны

Задание: Определить уравнение гармонических колебаний на основании графика зависимости координаты \( x(t) \) от времени \( t \).

1. Общий вид уравнения гармонических колебаний:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

\[ x = A \sin(\omega t + \varphi_0) \]

Где:

• \( A \) — амплитуда колебаний (максимальное отклонение),
• \( \omega \) — циклическая частота,
• \( t \) — время,
• \( \varphi_0 \) — начальная фаза.

2. Анализ графика:

Рассматривая график:

• Зависимость координаты \( x \) дана в миллиметрах (мм).
• Максимальная амплитуда \( x = \pm 4 \) мм.
• Период колебаний \( T \) можно определить по времени одного полного цикла. В исходной точке (через 0) колебания возвращаются в исходное состояние через 8 секунд, следовательно, период \( T = 8 \) секунд.

3. Вычисление амплитуды:

Амплитуда \( A \) — это максимальное отклонение координаты \( x \) от положения равновесия. По графику видно, что максимальное отклонение составляет 4 мм, что в системе СИ (метрах) будет:

\[ A = 4 \, \text{мм} = 0{,}004 \, \text{м} \]

4. Циклическая частота:

Циклическую частоту \( \omega \) можно найти через период колебаний \( T \) по формуле:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Так как период \( T = 8 \, \text{с} \), тогда:

\[ \omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \, \text{рад/с} \]

5. Определение начальной фазы \( \varphi_0 \):

Из графика видно, что при \( t = 0 \), координата \( x = 0 \), и функция растёт, что соответствует виду функции синуса. Следовательно, начальная фаза \( \varphi_0 = 0 \).

6. Уравнение колебаний:

Подставляя найденные значения \( A \), \( \omega \), и \( \varphi_0 \) в уравнение:

\[ x(t) = 0{,}004 \sin\left( \frac{\pi}{4} t \right) \, \text{м} \]

7. Ответ:

Уравнение гармонических колебаний в системе СИ:

\[ x = 0{,}004 \sin\left( \frac{\pi}{4} t \right) \, \text{м} \]