Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Даны периоды колебаний двух грузов, подвешенных поочередно на одной и той же пружине:
Нужно определить период колебаний, если к этой же пружине подвесить оба груза одновременно.
Колебания груза на пружине подчиняются закону гармонических колебаний, где период колебаний связан с массой груза и жесткостью пружины следующим уравнением:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \],
где:
Если мы рассматриваем систему с несколькими грузами, нам нужно понимать, что при параллельном подвешивании двух грузов их общая масса увеличивается — это будет неудивительно, ведь пружина испытывает растяжение под действием силы тяжести от суммы масс.
Запишем формулы для периодов колебаний каждого груза.
Для первого груза с массой \( m_1 \):
\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} \],
Для второго груза с массой \( m_2 \):
\[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \].
Теперь рассмотрим случай, когда к той же самой пружине одновременно подвешиваются оба груза. Общая масса \( m_1 + m_2 \). Тогда период колебаний всей системы будет:
\[ T_{\text{общий}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} \].
Чтобы найти связь между массой и периодами, выразим массу каждого груза через их периоды. Из уравнения для периода мы можем выразить массу:
\[ m_1 = \frac{k}{4\pi^2}T_1^2 \],
\[ m_2 = \frac{k}{4\pi^2}T_2^2 \].
Теперь запишем выражение для общей массы:
\[ T_{\text{общий}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{k}{4\pi^2}T_1^2 + \frac{k}{4\pi^2}T_2^2}{k}} \].
Сокращаем на \( k \) и \( 4\pi^2 \):
\[ T_{\text{общий}} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2} \].
Подставляем данные значения периодов для каждого груза:
Период колебаний системы из двух одновременно подвешенных грузов составит \( 0{,}5 \, \text{с} \).
\[ T_{\text{общий}} = \sqrt{(0{,}3\,\text{с})^2 + (0{,}4\,\text{с})^2} = \sqrt{0{,}09 + 0{,}16} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \, \text{с} \].