Определить момент времени t, за который материальная точка пройдет путь от положения равновесия до максимального смещения

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания (Гармонические колебания)

Дано:

Закон гармонических колебаний: \[ X(t) = 7\sin(0,5\pi t) \ (\text{см}), \] где \( X(t) \) — координата материальной точки в момент времени \( t \).

Необходимо определить момент времени \( t \), за который материальная точка пройдет путь от положения равновесия (где \( X = 0 \)) до максимального смещения (где \( X = X_{\text{max}} \)).

1. Определим амплитуду.

Амплитуда \( A \) гармонического колебания — это максимальное значение координаты \( X \). Из закона колебаний видно, что амплитуда равна 7 см, так как коэффициент перед синусом определяет максимальное значение функции:

\[ X_{\text{max}} = 7 \, \text{см}. \]

2. Разберемся с фазой колебаний.

Запишем выражение для координаты \( X \) как функцию времени:

\[ X(t) = 7\sin(0.5\pi t). \]

Здесь \( \omega = 0.5\pi \) — это циклическая частота колебаний.

3. Положение равновесия и максимальное смещение.

Положение равновесия соответствует \( X = 0 \), то есть \(\sin(\varphi) = 0\). Для этого необходимо, чтобы аргумент синуса был равен нулю:

\[ 0.5\pi t = 0, \; t = 0. \]

Из этого видно, что материальная точка в начальный момент времени \( t = 0 \) находится в положении равновесия.

Максимальное смещение достигается, когда \(\sin(\varphi) = 1\), то есть:

\[ \sin(0.5\pi t) = 1 \quad \text{при} \quad 0.5\pi t = \frac{\pi}{2}. \]

Решаем это уравнение:

\[ 0.5\pi t = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{\pi/2}{0.5\pi} = 1 \, \text{с}. \]

4. Ответ:

Материальная точка пройдет путь от положения равновесия до максимального смещения через 1 секунду.