Найти время t, при котором смещение составляет 7.1 см

Предмет: Физика

Раздел: Механические колебания и волны

Данное задание связано с гармоническими колебаниями.

Нам даны:

• Амплитуда колебаний (A) = 10 см = 0.1 м (переведем в метры);
• Частота колебаний (f) = 0.5 Гц;
• Начальное смещение при времени \(t = 0\) — 10 см (то есть начальное смещение равно амплитуде, \( x(0) = A \));
• Нужно найти время \(t\), при котором смещение составляет 7.1 см (или 0.071 м).

Шаг 1. Основное уравнение гармонических колебаний

Гармонические колебания описываются уравнением:

\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi), \]

где:

• \(x(t)\) — смещение в момент времени \(t\),
• \(A\) — амплитуда,
• \(\omega\) — циклическая частота,
• \(\phi\) — начальная фаза,
• \(t\) — время.

Шаг 2. Определение циклической частоты \(\omega\)

Циклическая частота \(\omega\) связана с частотой \(f\) формулой:

\[ \omega = 2\pi f. \]

Подставляем значение частоты:

\[ \omega = 2\pi \cdot 0.5 = \pi \text{ рад/с}. \]

Шаг 3. Определение начальной фазы \(\phi\)

Так как при \( t = 0 \) смещение \( x(0) = A = 0.1 \text{ м} \), то:

\[ 0.1 = 0.1 \cdot \cos(\phi). \]

\[ \cos(\phi) = 1, \quad \Rightarrow \quad \phi = 0. \]

Начальная фаза \(\phi = 0\).

Уравнение колебаний становится следующим:

\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t) = 0.1 \cdot \cos(\pi t). \]

Шаг 4. Поиск времени, когда \(x = 0.071 \text{ м}\)

Теперь подставим значение \( x(t) = 0.071 \text{ м} \) в уравнение колебаний:

\[ 0.071 = 0.1 \cdot \cos(\pi t). \]

Разделим обе части уравнения на \(0.1\):

\[ \frac{0.071}{0.1} = \cos(\pi t), \]

\[ 0.71 = \cos(\pi t). \]

Теперь найдём аргумент косинуса:

\[ \pi t = \cos^{-1}(0.71), \]

\[ \pi t \approx 0.785 \text{ рад}. \]

Вычисляем \(t\):

\[ t = \frac{0.785}{\pi} \approx 0.25 \text{ с}. \]

Ответ:

Смещение будет равно 7.1 см через 0.25 секунды.